Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37000 / 30334
↖ ↑ ↗
← N 13.250640°
E 23.247070°		 ← 594.53 m → N 13.250640°
E 23.252563°		 →
↑
594.54 m
↓
↑
594.54 m
↓
N 13.245293°
E 23.247070°		 ← 594.54 m →
353 475 m²		 N 13.245293°
E 23.252563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564582824707031 y=0.462867736816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564582824707031 × 216)
    floor (0.564582824707031 × 65536)
    floor (37000.5)     		tx = 37000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462867736816406 × 216)
    floor (0.462867736816406 × 65536)
    floor (30334.5)     		ty = 30334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37000 / 30334 ti = "16/37000/30334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37000/30334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37000 ÷ 216
    37000 ÷ 65536     		x = 0.5645751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30334 ÷ 216
    30334 ÷ 65536     		y = 0.462860107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5645751953125 × 2 - 1) × π
    0.129150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40573792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.462860107421875 × 2 - 1) × π
    0.07427978515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.233356827350433
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40573792} λ = 0.40573792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.233356827350433))-π/2
    2×atan(1.26283201194217)-π/2
    2×0.901031807640351-π/2
    1.8020636152807-1.57079632675     		φ = 0.23126729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40573792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.247070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23126729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.250640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37000 KachelY 30334 0.40573792 0.23126729 23.247070 13.250640
    Oben rechts KachelX + 1 37001 KachelY 30334 0.40583379 0.23126729 23.252563 13.250640
    Unten links KachelX 37000 KachelY + 1 30335 0.40573792 0.23117397 23.247070 13.245293
    Unten rechts KachelX + 1 37001 KachelY + 1 30335 0.40583379 0.23117397 23.252563 13.245293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23126729-0.23117397) × R
    9.33199999999801e-05 × 6371000     		dl = 594.541719999873m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23126729-0.23117397) × R
    9.33199999999801e-05 × 6371000     		dr = 594.541719999873m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40573792-0.40583379) × cos(0.23126729) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.97337669958124 × 6371000     		do = 594.526583707517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40573792-0.40583379) × cos(0.23117397) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.973398085337404 × 6371000     		du = 594.539645865834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23126729)-sin(0.23117397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97337669958124-0.973398085337404)×R²
    abs(0.40583379-0.40573792)×2.13857561638386e-05×R²
    9.58700000000534e-05×2.13857561638386e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×2.13857561638386e-05×40589641000000     		ar = 353474.74091872m²