Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37000 / 28376
↖ ↑ ↗
← N 23.443089°
E 23.247070°		 ← 560.37 m → N 23.443089°
E 23.252563°		 →
↑
560.39 m
↓
↑
560.39 m
↓
N 23.438049°
E 23.247070°		 ← 560.39 m →
314 034 m²		 N 23.438049°
E 23.252563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564582824707031 y=0.432991027832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564582824707031 × 216)
    floor (0.564582824707031 × 65536)
    floor (37000.5)     		tx = 37000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432991027832031 × 216)
    floor (0.432991027832031 × 65536)
    floor (28376.5)     		ty = 28376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37000 / 28376 ti = "16/37000/28376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37000/28376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37000 ÷ 216
    37000 ÷ 65536     		x = 0.5645751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28376 ÷ 216
    28376 ÷ 65536     		y = 0.4329833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5645751953125 × 2 - 1) × π
    0.129150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40573792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4329833984375 × 2 - 1) × π
    0.134033203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.421077726262573
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40573792} λ = 0.40573792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.421077726262573))-π/2
    2×atan(1.52360269774989)-π/2
    2×0.989977707734884-π/2
    1.97995541546977-1.57079632675     		φ = 0.40915909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40573792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.247070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40915909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.443089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37000 KachelY 28376 0.40573792 0.40915909 23.247070 23.443089
    Oben rechts KachelX + 1 37001 KachelY 28376 0.40583379 0.40915909 23.252563 23.443089
    Unten links KachelX 37000 KachelY + 1 28377 0.40573792 0.40907113 23.247070 23.438049
    Unten rechts KachelX + 1 37001 KachelY + 1 28377 0.40583379 0.40907113 23.252563 23.438049
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40915909-0.40907113) × R
    8.7959999999998e-05 × 6371000     		dl = 560.393159999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40915909-0.40907113) × R
    8.7959999999998e-05 × 6371000     		dr = 560.393159999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40573792-0.40583379) × cos(0.40915909) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.917455693085462 × 6371000     		do = 560.370716853786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40573792-0.40583379) × cos(0.40907113) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.917490683364192 × 6371000     		du = 560.392088488103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40915909)-sin(0.40907113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917455693085462-0.917490683364192)×R²
    abs(0.40583379-0.40573792)×3.49902787304401e-05×R²
    9.58700000000534e-05×3.49902787304401e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×3.49902787304401e-05×40589641000000     		ar = 314033.905250631m²