Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3700 / 1859
↖ ↑ ↗
← N 69.611205°
W 17.402344°		 ← 1 702.40 m → N 69.611205°
W 17.358399°		 →
↑
1 702.97 m
↓
↑
1 702.97 m
↓
N 69.595890°
W 17.402344°		 ← 1 703.62 m →
2 900 174 m²		 N 69.595890°
W 17.358399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1859 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45172119140625 y=0.22698974609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45172119140625 × 213)
    floor (0.45172119140625 × 8192)
    floor (3700.5)     		tx = 3700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.22698974609375 × 213)
    floor (0.22698974609375 × 8192)
    floor (1859.5)     		ty = 1859
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3700 / 1859 ti = "13/3700/1859"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3700/1859.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3700 ÷ 213
    3700 ÷ 8192     		x = 0.45166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1859 ÷ 213
    1859 ÷ 8192     		y = 0.2269287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45166015625 × 2 - 1) × π
    -0.0966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30372820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2269287109375 × 2 - 1) × π
    0.546142578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.71575751120105
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30372820} λ = -0.30372820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71575751120105))-π/2
    2×atan(5.56088635097999)-π/2
    2×1.39287053055342-π/2
    2.78574106110684-1.57079632675     		φ = 1.21494473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30372820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.402344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21494473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.611205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3700 KachelY 1859 -0.30372820 1.21494473 -17.402344 69.611205
    Oben rechts KachelX + 1 3701 KachelY 1859 -0.30296121 1.21494473 -17.358399 69.611205
    Unten links KachelX 3700 KachelY + 1 1860 -0.30372820 1.21467743 -17.402344 69.595890
    Unten rechts KachelX + 1 3701 KachelY + 1 1860 -0.30296121 1.21467743 -17.358399 69.595890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21494473-1.21467743) × R
    0.00026729999999997 × 6371000     		dl = 1702.96829999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21494473-1.21467743) × R
    0.00026729999999997 × 6371000     		dr = 1702.96829999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30372820--0.30296121) × cos(1.21494473) × R
    0.000766990000000023 × 0.348388735844664 × 6371000     		do = 1702.39922001658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30372820--0.30296121) × cos(1.21467743) × R
    0.000766990000000023 × 0.348639277088577 × 6371000     		du = 1703.62348812383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21494473)-sin(1.21467743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348388735844664-0.348639277088577)×R²
    abs(-0.30296121--0.30372820)×0.000250541243913271×R²
    0.000766990000000023×0.000250541243913271×6371000²
    0.000766990000000023×0.000250541243913271×40589641000000     		ar = 2900174.36779171m²