Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 3700 / 1396
↖ ↑ ↗
← N 81.557073°
W 98.701172°		 ← 358.72 m → N 81.557073°
W 98.679199°		 →
↑
358.81 m
↓
↑
358.81 m
↓
N 81.553847°
W 98.701172°		 ← 358.86 m →
128 739 m²		 N 81.553847°
W 98.679199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1396 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.225860595703125 y=0.085235595703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.225860595703125 × 214)
    floor (0.225860595703125 × 16384)
    floor (3700.5)     		tx = 3700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.085235595703125 × 214)
    floor (0.085235595703125 × 16384)
    floor (1396.5)     		ty = 1396
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3700 / 1396 ti = "14/3700/1396"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3700/1396.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3700 ÷ 214
    3700 ÷ 16384     		x = 0.225830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1396 ÷ 214
    1396 ÷ 16384     		y = 0.085205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.225830078125 × 2 - 1) × π
    -0.54833984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.72266042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.085205078125 × 2 - 1) × π
    0.82958984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.60623335854321
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.72266042} λ = -1.72266042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60623335854321))-π/2
    2×atan(13.5479244509766)-π/2
    2×1.49711789401404-π/2
    2.99423578802808-1.57079632675     		φ = 1.42343946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.72266042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.701172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42343946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.557073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3700 KachelY 1396 -1.72266042 1.42343946 -98.701172 81.557073
    Oben rechts KachelX + 1 3701 KachelY 1396 -1.72227693 1.42343946 -98.679199 81.557073
    Unten links KachelX 3700 KachelY + 1 1397 -1.72266042 1.42338314 -98.701172 81.553847
    Unten rechts KachelX + 1 3701 KachelY + 1 1397 -1.72227693 1.42338314 -98.679199 81.553847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42343946-1.42338314) × R
    5.63199999998876e-05 × 6371000     		dl = 358.814719999284m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42343946-1.42338314) × R
    5.63199999998876e-05 × 6371000     		dr = 358.814719999284m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.72266042--1.72227693) × cos(1.42343946) × R
    0.000383489999999931 × 0.146824159849722 × 6371000     		do = 358.722958874101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.72266042--1.72227693) × cos(1.42338314) × R
    0.000383489999999931 × 0.146879869254945 × 6371000     		du = 358.859068916884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42343946)-sin(1.42338314))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146824159849722-0.146879869254945)×R²
    abs(-1.72227693--1.72266042)×5.570940522312e-05×R²
    0.000383489999999931×5.570940522312e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.570940522312e-05×40589641000000     		ar = 128739.497222645m²