Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 370 / 438
↖ ↑ ↗
← N 25.165173°
W 49.921875°		 ← 35.382 km → N 25.165173°
W 49.570312°		 →
↑
35.428 km
↓
↑
35.428 km
↓
N 24.846565°
W 49.921875°		 ← 35.474 km →
1 255.12 km²		 N 24.846565°
W 49.570312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.36181640625 y=0.42822265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.36181640625 × 210)
    floor (0.36181640625 × 1024)
    floor (370.5)     		tx = 370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.42822265625 × 210)
    floor (0.42822265625 × 1024)
    floor (438.5)     		ty = 438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 370 / 438 ti = "10/370/438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/370/438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 370 ÷ 210
    370 ÷ 1024     		x = 0.361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 438 ÷ 210
    438 ÷ 1024     		y = 0.427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.361328125 × 2 - 1) × π
    -0.27734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.87130109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427734375 × 2 - 1) × π
    0.14453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.454058313201172
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87130109} λ = -0.87130109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.454058313201172))-π/2
    2×atan(1.57468982000202)-π/2
    2×1.00500572945076-π/2
    2.01001145890153-1.57079632675     		φ = 0.43921513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87130109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.921875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43921513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.165173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 370 KachelY 438 -0.87130109 0.43921513 -49.921875 25.165173
    Oben rechts KachelX + 1 371 KachelY 438 -0.86516516 0.43921513 -49.570312 25.165173
    Unten links KachelX 370 KachelY + 1 439 -0.87130109 0.43365437 -49.921875 24.846565
    Unten rechts KachelX + 1 371 KachelY + 1 439 -0.86516516 0.43365437 -49.570312 24.846565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43921513-0.43365437) × R
    0.00556076 × 6371000     		dl = 35427.60196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43921513-0.43365437) × R
    0.00556076 × 6371000     		dr = 35427.60196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87130109--0.86516516) × cos(0.43921513) × R
    0.00613593000000001 × 0.905085691620626 × 6371000     		do = 35381.6189348431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87130109--0.86516516) × cos(0.43365437) × R
    0.00613593000000001 × 0.907436283562814 × 6371000     		du = 35473.5082986235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43921513)-sin(0.43365437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905085691620626-0.907436283562814)×R²
    abs(-0.86516516--0.87130109)×0.00235059194218801×R²
    0.00613593000000001×0.00235059194218801×6371000²
    0.00613593000000001×0.00235059194218801×40589641000000     		ar = 1255116856.46024m²