Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 370 / 434
↖ ↑ ↗
← N 26.431228°
W 49.921875°		 ← 35.006 km → N 26.431228°
W 49.570312°		 →
↑
35.053 km
↓
↑
35.053 km
↓
N 26.115986°
W 49.921875°		 ← 35.101 km →
1 228.74 km²		 N 26.115986°
W 49.570312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.36181640625 y=0.42431640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.36181640625 × 210)
    floor (0.36181640625 × 1024)
    floor (370.5)     		tx = 370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.42431640625 × 210)
    floor (0.42431640625 × 1024)
    floor (434.5)     		ty = 434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 370 / 434 ti = "10/370/434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/370/434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 370 ÷ 210
    370 ÷ 1024     		x = 0.361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 434 ÷ 210
    434 ÷ 1024     		y = 0.423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.361328125 × 2 - 1) × π
    -0.27734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.87130109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423828125 × 2 - 1) × π
    0.15234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.478602005806641
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87130109} λ = -0.87130109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.478602005806641))-π/2
    2×atan(1.61381671804495)-π/2
    2×1.01605414092691-π/2
    2.03210828185381-1.57079632675     		φ = 0.46131196
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87130109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.921875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46131196 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.431228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 370 KachelY 434 -0.87130109 0.46131196 -49.921875 26.431228
    Oben rechts KachelX + 1 371 KachelY 434 -0.86516516 0.46131196 -49.570312 26.431228
    Unten links KachelX 370 KachelY + 1 435 -0.87130109 0.45580994 -49.921875 26.115986
    Unten rechts KachelX + 1 371 KachelY + 1 435 -0.86516516 0.45580994 -49.570312 26.115986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46131196-0.45580994) × R
    0.00550202 × 6371000     		dl = 35053.36942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46131196-0.45580994) × R
    0.00550202 × 6371000     		dr = 35053.36942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87130109--0.86516516) × cos(0.46131196) × R
    0.00613593000000001 × 0.895469284374037 × 6371000     		do = 35005.6942463069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87130109--0.86516516) × cos(0.45580994) × R
    0.00613593000000001 × 0.897904795480173 × 6371000     		du = 35100.9032708961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46131196)-sin(0.45580994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895469284374037-0.897904795480173)×R²
    abs(-0.86516516--0.87130109)×0.0024355111061356×R²
    0.00613593000000001×0.0024355111061356×6371000²
    0.00613593000000001×0.0024355111061356×40589641000000     		ar = 1228739330.49915m²