Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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8 / 37 / 13
↖ ↑ ↗
← N 83.194896°
W127.968750°		 ← 18.528 km → N 83.194896°
W126.562500°		 →
↑
18.756 km
↓
↑
18.756 km
↓
N 83.026219°
W127.968750°		 ← 18.985 km →
351.806 km²		 N 83.026219°
W126.562500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.146484375 y=0.052734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.146484375 × 28)
    floor (0.146484375 × 256)
    floor (37.5)     		tx = 37
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.052734375 × 28)
    floor (0.052734375 × 256)
    floor (13.5)     		ty = 13
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 37 / 13 ti = "8/37/13"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/37/13.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37 ÷ 28
    37 ÷ 256     		x = 0.14453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13 ÷ 28
    13 ÷ 256     		y = 0.05078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14453125 × 2 - 1) × π
    -0.7109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.23347603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.05078125 × 2 - 1) × π
    0.8984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.82252464962891
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23347603} λ = -2.23347603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.82252464962891))-π/2
    2×atan(16.8192598535998)-π/2
    2×1.51141058824867-π/2
    3.02282117649735-1.57079632675     		φ = 1.45202485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23347603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.968750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.45202485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 83.194896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37 KachelY 13 -2.23347603 1.45202485 -127.968750 83.194896
    Oben rechts KachelX + 1 38 KachelY 13 -2.20893233 1.45202485 -126.562500 83.194896
    Unten links KachelX 37 KachelY + 1 14 -2.23347603 1.44908088 -127.968750 83.026219
    Unten rechts KachelX + 1 38 KachelY + 1 14 -2.20893233 1.44908088 -126.562500 83.026219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.45202485-1.44908088) × R
    0.00294397000000002 × 6371000     		dl = 18756.0328700001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.45202485-1.44908088) × R
    0.00294397000000002 × 6371000     		dr = 18756.0328700001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23347603--2.20893233) × cos(1.45202485) × R
    0.0245436999999997 × 0.118492428809386 × 6371000     		do = 18528.4137636768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23347603--2.20893233) × cos(1.44908088) × R
    0.0245436999999997 × 0.121415140703967 × 6371000     		du = 18985.4321220559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.45202485)-sin(1.44908088))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.118492428809386-0.121415140703967)×R²
    abs(-2.20893233--2.23347603)×0.00292271189458078×R²
    0.0245436999999997×0.00292271189458078×6371000²
    0.0245436999999997×0.00292271189458078×40589641000000     		ar = 351805717.347022m²