Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36999 / 68789
↖ ↑ ↗
← S  8.898640°
W 78.379211°		 ← 301.69 m → S  8.898640°
W 78.376465°		 →
↑
301.73 m
↓
↑
301.73 m
↓
S  8.901353°
W 78.379211°		 ← 301.68 m →
91 028 m²		 S  8.901353°
W 78.376465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282283782958984 y=0.524822235107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282283782958984 × 217)
    floor (0.282283782958984 × 131072)
    floor (36999.5)     		tx = 36999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524822235107422 × 217)
    floor (0.524822235107422 × 131072)
    floor (68789.5)     		ty = 68789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36999 / 68789 ti = "17/36999/68789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36999/68789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36999 ÷ 217
    36999 ÷ 131072     		x = 0.282279968261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68789 ÷ 217
    68789 ÷ 131072     		y = 0.524818420410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282279968261719 × 2 - 1) × π
    -0.435440063476562 × 3.1415926535     		Λ = -1.36797530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524818420410156 × 2 - 1) × π
    -0.0496368408203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.155938734464043
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36797530} λ = -1.36797530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.155938734464043))-π/2
    2×atan(0.855611608269049)-π/2
    2×0.707742884031738-π/2
    1.41548576806348-1.57079632675     		φ = -0.15531056
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36797530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.379211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15531056 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.898640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36999 KachelY 68789 -1.36797530 -0.15531056 -78.379211 -8.898640
    Oben rechts KachelX + 1 37000 KachelY 68789 -1.36792737 -0.15531056 -78.376465 -8.898640
    Unten links KachelX 36999 KachelY + 1 68790 -1.36797530 -0.15535792 -78.379211 -8.901353
    Unten rechts KachelX + 1 37000 KachelY + 1 68790 -1.36792737 -0.15535792 -78.376465 -8.901353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15531056--0.15535792) × R
    4.7360000000024e-05 × 6371000     		dl = 301.730560000153m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15531056--0.15535792) × R
    4.7360000000024e-05 × 6371000     		dr = 301.730560000153m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36797530--1.36792737) × cos(-0.15531056) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.987963538845747 × 6371000     		do = 301.686551786708m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36797530--1.36792737) × cos(-0.15535792) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.987956211764821 × 6371000     		du = 301.684314374403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15531056)-sin(-0.15535792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987963538845747-0.987956211764821)×R²
    abs(-1.36792737--1.36797530)×7.32708092665568e-06×R²
    4.79299999998073e-05×7.32708092665568e-06×6371000²
    4.79299999998073e-05×7.32708092665568e-06×40589641000000     		ar = 91027.7146843191m²