Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36999 / 45289
↖ ↑ ↗
← S 56.489795°
E 23.241577°		 ← 337.24 m → S 56.489795°
E 23.247070°		 →
↑
337.22 m
↓
↑
337.22 m
↓
S 56.492827°
E 23.241577°		 ← 337.22 m →
113 719 m²		 S 56.492827°
E 23.247070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45289 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564567565917969 y=0.691062927246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564567565917969 × 216)
    floor (0.564567565917969 × 65536)
    floor (36999.5)     		tx = 36999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.691062927246094 × 216)
    floor (0.691062927246094 × 65536)
    floor (45289.5)     		ty = 45289
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36999 / 45289 ti = "16/36999/45289"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36999/45289.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36999 ÷ 216
    36999 ÷ 65536     		x = 0.564559936523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45289 ÷ 216
    45289 ÷ 65536     		y = 0.691055297851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564559936523438 × 2 - 1) × π
    0.129119873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40564204
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.691055297851562 × 2 - 1) × π
    -0.382110595703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.20043584028545
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40564204} λ = 0.40564204}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20043584028545))-π/2
    2×atan(0.301062967943689)-π/2
    2×0.292431708896297-π/2
    0.584863417792593-1.57079632675     		φ = -0.98593291
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40564204} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.241577°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98593291 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.489795°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36999 KachelY 45289 0.40564204 -0.98593291 23.241577 -56.489795
    Oben rechts KachelX + 1 37000 KachelY 45289 0.40573792 -0.98593291 23.247070 -56.489795
    Unten links KachelX 36999 KachelY + 1 45290 0.40564204 -0.98598584 23.241577 -56.492827
    Unten rechts KachelX + 1 37000 KachelY + 1 45290 0.40573792 -0.98598584 23.247070 -56.492827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98593291--0.98598584) × R
    5.29299999999511e-05 × 6371000     		dl = 337.217029999688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98593291--0.98598584) × R
    5.29299999999511e-05 × 6371000     		dr = 337.217029999688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40564204-0.40573792) × cos(-0.98593291) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.552085506111126 × 6371000     		do = 337.242248494504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40564204-0.40573792) × cos(-0.98598584) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.552041372965453 × 6371000     		du = 337.215289697153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98593291)-sin(-0.98598584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552085506111126-0.552041372965453)×R²
    abs(0.40573792-0.40564204)×4.41331456729754e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.41331456729754e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.41331456729754e-05×40589641000000     		ar = 113719.283971232m²