Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36999 / 45203
↖ ↑ ↗
← S 56.228085°
E 23.241577°		 ← 339.57 m → S 56.228085°
E 23.247070°		 →
↑
339.51 m
↓
↑
339.51 m
↓
S 56.231139°
E 23.241577°		 ← 339.54 m →
115 281 m²		 S 56.231139°
E 23.247070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564567565917969 y=0.689750671386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564567565917969 × 216)
    floor (0.564567565917969 × 65536)
    floor (36999.5)     		tx = 36999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689750671386719 × 216)
    floor (0.689750671386719 × 65536)
    floor (45203.5)     		ty = 45203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36999 / 45203 ti = "16/36999/45203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36999/45203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36999 ÷ 216
    36999 ÷ 65536     		x = 0.564559936523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45203 ÷ 216
    45203 ÷ 65536     		y = 0.689743041992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564559936523438 × 2 - 1) × π
    0.129119873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40564204
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689743041992188 × 2 - 1) × π
    -0.379486083984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.1921906935508
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40564204} λ = 0.40564204}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1921906935508))-π/2
    2×atan(0.303555537972671)-π/2
    2×0.29471555538812-π/2
    0.589431110776239-1.57079632675     		φ = -0.98136522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40564204} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.241577°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98136522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.228085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36999 KachelY 45203 0.40564204 -0.98136522 23.241577 -56.228085
    Oben rechts KachelX + 1 37000 KachelY 45203 0.40573792 -0.98136522 23.247070 -56.228085
    Unten links KachelX 36999 KachelY + 1 45204 0.40564204 -0.98141851 23.241577 -56.231139
    Unten rechts KachelX + 1 37000 KachelY + 1 45204 0.40573792 -0.98141851 23.247070 -56.231139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98136522--0.98141851) × R
    5.32899999999836e-05 × 6371000     		dl = 339.510589999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98136522--0.98141851) × R
    5.32899999999836e-05 × 6371000     		dr = 339.510589999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40564204-0.40573792) × cos(-0.98136522) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.555888216401905 × 6371000     		do = 339.565139703638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40564204-0.40573792) × cos(-0.98141851) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.555843917924172 × 6371000     		du = 339.538079912953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98136522)-sin(-0.98141851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555888216401905-0.555843917924172)×R²
    abs(0.40573792-0.40564204)×4.42984777324629e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.42984777324629e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.42984777324629e-05×40589641000000     		ar = 115281.367408467m²