Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36999 / 28039
↖ ↑ ↗
← N 25.130366°
E 23.241577°		 ← 553.03 m → N 25.130366°
E 23.247070°		 →
↑
553 m
↓
↑
553 m
↓
N 25.125393°
E 23.241577°		 ← 553.05 m →
305 834 m²		 N 25.125393°
E 23.247070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564567565917969 y=0.427848815917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564567565917969 × 216)
    floor (0.564567565917969 × 65536)
    floor (36999.5)     		tx = 36999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427848815917969 × 216)
    floor (0.427848815917969 × 65536)
    floor (28039.5)     		ty = 28039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36999 / 28039 ti = "16/36999/28039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36999/28039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36999 ÷ 216
    36999 ÷ 65536     		x = 0.564559936523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28039 ÷ 216
    28039 ÷ 65536     		y = 0.427841186523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564559936523438 × 2 - 1) × π
    0.129119873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40564204
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427841186523438 × 2 - 1) × π
    0.144317626953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.453387196606491
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40564204} λ = 0.40564204}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.453387196606491))-π/2
    2×atan(1.57363337407119)-π/2
    2×1.004701977116-π/2
    2.00940395423201-1.57079632675     		φ = 0.43860763
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40564204} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.241577°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43860763 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.130366°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36999 KachelY 28039 0.40564204 0.43860763 23.241577 25.130366
    Oben rechts KachelX + 1 37000 KachelY 28039 0.40573792 0.43860763 23.247070 25.130366
    Unten links KachelX 36999 KachelY + 1 28040 0.40564204 0.43852083 23.241577 25.125393
    Unten rechts KachelX + 1 37000 KachelY + 1 28040 0.40573792 0.43852083 23.247070 25.125393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43860763-0.43852083) × R
    8.68000000000535e-05 × 6371000     		dl = 553.002800000341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43860763-0.43852083) × R
    8.68000000000535e-05 × 6371000     		dr = 553.002800000341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40564204-0.40573792) × cos(0.43860763) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.905343851343042 × 6371000     		do = 553.030631501755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40564204-0.40573792) × cos(0.43852083) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.905380710096002 × 6371000     		du = 553.053146725551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43860763)-sin(0.43852083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905343851343042-0.905380710096002)×R²
    abs(0.40573792-0.40564204)×3.68587529600006e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.68587529600006e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.68587529600006e-05×40589641000000     		ar = 305833.713389394m²