Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36999 / 20615
↖ ↑ ↗
← N 76.756137°
W 78.379211°		 ← 69.96 m → N 76.756137°
W 78.376465°		 →
↑
70.02 m
↓
↑
70.02 m
↓
N 76.755508°
W 78.379211°		 ← 69.96 m →
4 898 m²		 N 76.755508°
W 78.376465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282283782958984 y=0.157283782958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282283782958984 × 217)
    floor (0.282283782958984 × 131072)
    floor (36999.5)     		tx = 36999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157283782958984 × 217)
    floor (0.157283782958984 × 131072)
    floor (20615.5)     		ty = 20615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36999 / 20615 ti = "17/36999/20615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36999/20615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36999 ÷ 217
    36999 ÷ 131072     		x = 0.282279968261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20615 ÷ 217
    20615 ÷ 131072     		y = 0.157279968261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282279968261719 × 2 - 1) × π
    -0.435440063476562 × 3.1415926535     		Λ = -1.36797530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157279968261719 × 2 - 1) × π
    0.685440063476562 × 3.1415926535     		Φ = 2.15337346783254
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36797530} λ = -1.36797530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15337346783254))-π/2
    2×atan(8.61386804487287)-π/2
    2×1.45522182112049-π/2
    2.91044364224098-1.57079632675     		φ = 1.33964732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36797530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.379211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33964732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.756137°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36999 KachelY 20615 -1.36797530 1.33964732 -78.379211 76.756137
    Oben rechts KachelX + 1 37000 KachelY 20615 -1.36792737 1.33964732 -78.376465 76.756137
    Unten links KachelX 36999 KachelY + 1 20616 -1.36797530 1.33963633 -78.379211 76.755508
    Unten rechts KachelX + 1 37000 KachelY + 1 20616 -1.36792737 1.33963633 -78.376465 76.755508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33964732-1.33963633) × R
    1.0990000000044e-05 × 6371000     		dl = 70.0172900002805m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33964732-1.33963633) × R
    1.0990000000044e-05 × 6371000     		dr = 70.0172900002805m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36797530--1.36792737) × cos(1.33964732) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.229096122103006 × 6371000     		do = 69.9572569102206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36797530--1.36792737) × cos(1.33963633) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.229106819796984 × 6371000     		du = 69.9605235797698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33964732)-sin(1.33963633))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.229096122103006-0.229106819796984)×R²
    abs(-1.36792737--1.36797530)×1.06976939774073e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.06976939774073e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.06976939774073e-05×40589641000000     		ar = 4898.3319064861m²