Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36998 / 45302
↖ ↑ ↗
← S 56.529199°
E 23.236084°		 ← 336.86 m → S 56.529199°
E 23.241577°		 →
↑
336.83 m
↓
↑
336.83 m
↓
S 56.532228°
E 23.236084°		 ← 336.83 m →
113 461 m²		 S 56.532228°
E 23.241577°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36998 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564552307128906 y=0.691261291503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564552307128906 × 216)
    floor (0.564552307128906 × 65536)
    floor (36998.5)     		tx = 36998
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.691261291503906 × 216)
    floor (0.691261291503906 × 65536)
    floor (45302.5)     		ty = 45302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36998 / 45302 ti = "16/36998/45302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36998/45302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36998 ÷ 216
    36998 ÷ 65536     		x = 0.564544677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45302 ÷ 216
    45302 ÷ 65536     		y = 0.691253662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564544677734375 × 2 - 1) × π
    0.12908935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40554617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.691253662109375 × 2 - 1) × π
    -0.38250732421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.20168219967557
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40554617} λ = 0.40554617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20168219967557))-π/2
    2×atan(0.30068796902683)-π/2
    2×0.292087839151034-π/2
    0.584175678302069-1.57079632675     		φ = -0.98662065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40554617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.236084°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98662065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.529199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36998 KachelY 45302 0.40554617 -0.98662065 23.236084 -56.529199
    Oben rechts KachelX + 1 36999 KachelY 45302 0.40564204 -0.98662065 23.241577 -56.529199
    Unten links KachelX 36998 KachelY + 1 45303 0.40554617 -0.98667352 23.236084 -56.532228
    Unten rechts KachelX + 1 36999 KachelY + 1 45303 0.40564204 -0.98667352 23.241577 -56.532228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98662065--0.98667352) × R
    5.28699999999827e-05 × 6371000     		dl = 336.834769999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98662065--0.98667352) × R
    5.28699999999827e-05 × 6371000     		dr = 336.834769999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40554617-0.40564204) × cos(-0.98662065) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.551511946577143 × 6371000     		do = 336.856751978205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40554617-0.40564204) × cos(-0.98667352) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.551467843397422 × 6371000     		du = 336.829814295414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98662065)-sin(-0.98667352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551511946577143-0.551467843397422)×R²
    abs(0.40564204-0.40554617)×4.41031797207003e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.41031797207003e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.41031797207003e-05×40589641000000     		ar = 113460.529828016m²