Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36998 / 45202
↖ ↑ ↗
← S 56.225031°
E 23.236084°		 ← 339.56 m → S 56.225031°
E 23.241577°		 →
↑
339.57 m
↓
↑
339.57 m
↓
S 56.228085°
E 23.236084°		 ← 339.53 m →
115 300 m²		 S 56.228085°
E 23.241577°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36998 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45202 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564552307128906 y=0.689735412597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564552307128906 × 216)
    floor (0.564552307128906 × 65536)
    floor (36998.5)     		tx = 36998
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689735412597656 × 216)
    floor (0.689735412597656 × 65536)
    floor (45202.5)     		ty = 45202
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36998 / 45202 ti = "16/36998/45202"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36998/45202.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36998 ÷ 216
    36998 ÷ 65536     		x = 0.564544677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45202 ÷ 216
    45202 ÷ 65536     		y = 0.689727783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564544677734375 × 2 - 1) × π
    0.12908935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40554617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689727783203125 × 2 - 1) × π
    -0.37945556640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.19209481975156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40554617} λ = 0.40554617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19209481975156))-π/2
    2×atan(0.30358464239053)-π/2
    2×0.294742204007772-π/2
    0.589484408015545-1.57079632675     		φ = -0.98131192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40554617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.236084°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98131192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.225031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36998 KachelY 45202 0.40554617 -0.98131192 23.236084 -56.225031
    Oben rechts KachelX + 1 36999 KachelY 45202 0.40564204 -0.98131192 23.241577 -56.225031
    Unten links KachelX 36998 KachelY + 1 45203 0.40554617 -0.98136522 23.236084 -56.228085
    Unten rechts KachelX + 1 36999 KachelY + 1 45203 0.40564204 -0.98136522 23.241577 -56.228085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98131192--0.98136522) × R
    5.33000000000339e-05 × 6371000     		dl = 339.574300000216m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98131192--0.98136522) × R
    5.33000000000339e-05 × 6371000     		dr = 339.574300000216m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40554617-0.40564204) × cos(-0.98131192) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.555932521613287 × 6371000     		do = 339.556785146649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40554617-0.40564204) × cos(-0.98136522) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.555888216401905 × 6371000     		du = 339.529724065389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98131192)-sin(-0.98136522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555932521613287-0.555888216401905)×R²
    abs(0.40564204-0.40554617)×4.43052113819897e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.43052113819897e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.43052113819897e-05×40589641000000     		ar = 115300.163030162m²