Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36997 / 45233
↖ ↑ ↗
← S 56.319583°
E 23.230591°		 ← 338.72 m → S 56.319583°
E 23.236084°		 →
↑
338.68 m
↓
↑
338.68 m
↓
S 56.322629°
E 23.230591°		 ← 338.69 m →
114 713 m²		 S 56.322629°
E 23.236084°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564537048339844 y=0.690208435058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564537048339844 × 216)
    floor (0.564537048339844 × 65536)
    floor (36997.5)     		tx = 36997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690208435058594 × 216)
    floor (0.690208435058594 × 65536)
    floor (45233.5)     		ty = 45233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36997 / 45233 ti = "16/36997/45233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36997/45233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36997 ÷ 216
    36997 ÷ 65536     		x = 0.564529418945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45233 ÷ 216
    45233 ÷ 65536     		y = 0.690200805664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564529418945312 × 2 - 1) × π
    0.129058837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40545030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690200805664062 × 2 - 1) × π
    -0.380401611328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.195066907528
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40545030} λ = 0.40545030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.195066907528))-π/2
    2×atan(0.302683701686383)-π/2
    2×0.293917083896844-π/2
    0.587834167793688-1.57079632675     		φ = -0.98296216
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40545030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.230591°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98296216 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.319583°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36997 KachelY 45233 0.40545030 -0.98296216 23.230591 -56.319583
    Oben rechts KachelX + 1 36998 KachelY 45233 0.40554617 -0.98296216 23.236084 -56.319583
    Unten links KachelX 36997 KachelY + 1 45234 0.40545030 -0.98301532 23.230591 -56.322629
    Unten rechts KachelX + 1 36998 KachelY + 1 45234 0.40554617 -0.98301532 23.236084 -56.322629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98296216--0.98301532) × R
    5.31599999999965e-05 × 6371000     		dl = 338.682359999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98296216--0.98301532) × R
    5.31599999999965e-05 × 6371000     		dr = 338.682359999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40545030-0.40554617) × cos(-0.98296216) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.554560040507572 × 6371000     		do = 338.718490472722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40545030-0.40554617) × cos(-0.98301532) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.554515802964144 × 6371000     		du = 338.691470722221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98296216)-sin(-0.98301532))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554560040507572-0.554515802964144)×R²
    abs(0.40554617-0.40545030)×4.42375434278608e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.42375434278608e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.42375434278608e-05×40589641000000     		ar = 114713.402199612m²