Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36997 / 30200
↖ ↑ ↗
← N 13.966054°
E 23.230591°		 ← 592.73 m → N 13.966054°
E 23.236084°		 →
↑
592.76 m
↓
↑
592.76 m
↓
N 13.960723°
E 23.230591°		 ← 592.75 m →
351 351 m²		 N 13.960723°
E 23.236084°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564537048339844 y=0.460823059082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564537048339844 × 216)
    floor (0.564537048339844 × 65536)
    floor (36997.5)     		tx = 36997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460823059082031 × 216)
    floor (0.460823059082031 × 65536)
    floor (30200.5)     		ty = 30200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36997 / 30200 ti = "16/36997/30200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36997/30200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36997 ÷ 216
    36997 ÷ 65536     		x = 0.564529418945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30200 ÷ 216
    30200 ÷ 65536     		y = 0.4608154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564529418945312 × 2 - 1) × π
    0.129058837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40545030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4608154296875 × 2 - 1) × π
    0.078369140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.246203916448608
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40545030} λ = 0.40545030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.246203916448608))-π/2
    2×atan(1.27916038879226)-π/2
    2×0.907274977009332-π/2
    1.81454995401866-1.57079632675     		φ = 0.24375363
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40545030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.230591°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24375363 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.966054°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36997 KachelY 30200 0.40545030 0.24375363 23.230591 13.966054
    Oben rechts KachelX + 1 36998 KachelY 30200 0.40554617 0.24375363 23.236084 13.966054
    Unten links KachelX 36997 KachelY + 1 30201 0.40545030 0.24366059 23.230591 13.960723
    Unten rechts KachelX + 1 36998 KachelY + 1 30201 0.40554617 0.24366059 23.236084 13.960723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24375363-0.24366059) × R
    9.30399999999887e-05 × 6371000     		dl = 592.757839999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24375363-0.24366059) × R
    9.30399999999887e-05 × 6371000     		dr = 592.757839999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40545030-0.40554617) × cos(0.24375363) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.97043888629681 × 6371000     		do = 592.732203282499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40545030-0.40554617) × cos(0.24366059) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.970461337020141 × 6371000     		du = 592.745915909737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24375363)-sin(0.24366059))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97043888629681-0.970461337020141)×R²
    abs(0.40554617-0.40545030)×2.2450723331402e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.2450723331402e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.2450723331402e-05×40589641000000     		ar = 351350.724903188m²