Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36997 / 28283
↖ ↑ ↗
← N 23.910949°
E 23.230591°		 ← 558.37 m → N 23.910949°
E 23.236084°		 →
↑
558.35 m
↓
↑
558.35 m
↓
N 23.905927°
E 23.230591°		 ← 558.39 m →
311 773 m²		 N 23.905927°
E 23.236084°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564537048339844 y=0.431571960449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564537048339844 × 216)
    floor (0.564537048339844 × 65536)
    floor (36997.5)     		tx = 36997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431571960449219 × 216)
    floor (0.431571960449219 × 65536)
    floor (28283.5)     		ty = 28283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36997 / 28283 ti = "16/36997/28283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36997/28283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36997 ÷ 216
    36997 ÷ 65536     		x = 0.564529418945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28283 ÷ 216
    28283 ÷ 65536     		y = 0.431564331054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564529418945312 × 2 - 1) × π
    0.129058837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40545030
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431564331054688 × 2 - 1) × π
    0.136871337890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.429993989591904
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40545030} λ = 0.40545030}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.429993989591904))-π/2
    2×atan(1.53724828403098)-π/2
    2×0.994060554842696-π/2
    1.98812110968539-1.57079632675     		φ = 0.41732478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40545030} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.230591°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41732478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.910949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36997 KachelY 28283 0.40545030 0.41732478 23.230591 23.910949
    Oben rechts KachelX + 1 36998 KachelY 28283 0.40554617 0.41732478 23.236084 23.910949
    Unten links KachelX 36997 KachelY + 1 28284 0.40545030 0.41723714 23.230591 23.905927
    Unten rechts KachelX + 1 36998 KachelY + 1 28284 0.40554617 0.41723714 23.236084 23.905927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41732478-0.41723714) × R
    8.76399999999999e-05 × 6371000     		dl = 558.35444m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41732478-0.41723714) × R
    8.76399999999999e-05 × 6371000     		dr = 558.35444m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40545030-0.40554617) × cos(0.41732478) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.914176520533927 × 6371000     		do = 558.367838363264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40545030-0.40554617) × cos(0.41723714) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.914212038942139 × 6371000     		du = 558.38953257261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41732478)-sin(0.41723714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.914176520533927-0.914212038942139)×R²
    abs(0.40554617-0.40545030)×3.55184082112547e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.55184082112547e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.55184082112547e-05×40589641000000     		ar = 311773.218431939m²