Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36996 / 45234
↖ ↑ ↗
← S 56.322629°
E 23.225097°		 ← 338.73 m → S 56.322629°
E 23.230591°		 →
↑
338.75 m
↓
↑
338.75 m
↓
S 56.325675°
E 23.225097°		 ← 338.70 m →
114 738 m²		 S 56.325675°
E 23.230591°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564521789550781 y=0.690223693847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564521789550781 × 216)
    floor (0.564521789550781 × 65536)
    floor (36996.5)     		tx = 36996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690223693847656 × 216)
    floor (0.690223693847656 × 65536)
    floor (45234.5)     		ty = 45234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36996 / 45234 ti = "16/36996/45234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36996/45234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36996 ÷ 216
    36996 ÷ 65536     		x = 0.56451416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45234 ÷ 216
    45234 ÷ 65536     		y = 0.690216064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56451416015625 × 2 - 1) × π
    0.1290283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40535442
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690216064453125 × 2 - 1) × π
    -0.38043212890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.19516278132724
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40535442} λ = 0.40535442}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19516278132724))-π/2
    2×atan(0.302654683640991)-π/2
    2×0.293890501068235-π/2
    0.58778100213647-1.57079632675     		φ = -0.98301532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40535442} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.225097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98301532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.322629°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36996 KachelY 45234 0.40535442 -0.98301532 23.225097 -56.322629
    Oben rechts KachelX + 1 36997 KachelY 45234 0.40545030 -0.98301532 23.230591 -56.322629
    Unten links KachelX 36996 KachelY + 1 45235 0.40535442 -0.98306849 23.225097 -56.325675
    Unten rechts KachelX + 1 36997 KachelY + 1 45235 0.40545030 -0.98306849 23.230591 -56.325675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98301532--0.98306849) × R
    5.31699999999358e-05 × 6371000     		dl = 338.746069999591m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98301532--0.98306849) × R
    5.31699999999358e-05 × 6371000     		dr = 338.746069999591m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40535442-0.40545030) × cos(-0.98301532) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.554515802964144 × 6371000     		do = 338.72679892401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40535442-0.40545030) × cos(-0.98306849) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.554471555531636 × 6371000     		du = 338.699770314376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98301532)-sin(-0.98306849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554515802964144-0.554471555531636)×R²
    abs(0.40545030-0.40535442)×4.42474325081932e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.42474325081932e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.42474325081932e-05×40589641000000     		ar = 114737.794048456m²