Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36994 / 45230
↖ ↑ ↗
← S 56.310443°
E 23.214112°		 ← 338.80 m → S 56.310443°
E 23.219605°		 →
↑
338.75 m
↓
↑
338.75 m
↓
S 56.313490°
E 23.214112°		 ← 338.77 m →
114 762 m²		 S 56.313490°
E 23.219605°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36994 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564491271972656 y=0.690162658691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564491271972656 × 216)
    floor (0.564491271972656 × 65536)
    floor (36994.5)     		tx = 36994
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690162658691406 × 216)
    floor (0.690162658691406 × 65536)
    floor (45230.5)     		ty = 45230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36994 / 45230 ti = "16/36994/45230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36994/45230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36994 ÷ 216
    36994 ÷ 65536     		x = 0.564483642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45230 ÷ 216
    45230 ÷ 65536     		y = 0.690155029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564483642578125 × 2 - 1) × π
    0.12896728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40516268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690155029296875 × 2 - 1) × π
    -0.38031005859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.19477928613028
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40516268} λ = 0.40516268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19477928613028))-π/2
    2×atan(0.302770772516845)-π/2
    2×0.293996845108347-π/2
    0.587993690216694-1.57079632675     		φ = -0.98280264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40516268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.214112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98280264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.310443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36994 KachelY 45230 0.40516268 -0.98280264 23.214112 -56.310443
    Oben rechts KachelX + 1 36995 KachelY 45230 0.40525855 -0.98280264 23.219605 -56.310443
    Unten links KachelX 36994 KachelY + 1 45231 0.40516268 -0.98285581 23.214112 -56.313490
    Unten rechts KachelX + 1 36995 KachelY + 1 45231 0.40525855 -0.98285581 23.219605 -56.313490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98280264--0.98285581) × R
    5.31700000000468e-05 × 6371000     		dl = 338.746070000298m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98280264--0.98285581) × R
    5.31700000000468e-05 × 6371000     		dr = 338.746070000298m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40516268-0.40525855) × cos(-0.98280264) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.554692777016493 × 6371000     		do = 338.799564309004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40516268-0.40525855) × cos(-0.98285581) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.554648535855309 × 6371000     		du = 338.772542348822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98280264)-sin(-0.98285581))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554692777016493-0.554648535855309)×R²
    abs(0.40525855-0.40516268)×4.42411611846216e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.42411611846216e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.42411611846216e-05×40589641000000     		ar = 114762.444163373m²