Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36993 / 28497
↖ ↑ ↗
← N 22.831883°
E 23.208618°		 ← 562.99 m → N 22.831883°
E 23.214112°		 →
↑
563.01 m
↓
↑
563.01 m
↓
N 22.826820°
E 23.208618°		 ← 563.01 m →
316 972 m²		 N 22.826820°
E 23.214112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564476013183594 y=0.434837341308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564476013183594 × 216)
    floor (0.564476013183594 × 65536)
    floor (36993.5)     		tx = 36993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434837341308594 × 216)
    floor (0.434837341308594 × 65536)
    floor (28497.5)     		ty = 28497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36993 / 28497 ti = "16/36993/28497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36993/28497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36993 ÷ 216
    36993 ÷ 65536     		x = 0.564468383789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28497 ÷ 216
    28497 ÷ 65536     		y = 0.434829711914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564468383789062 × 2 - 1) × π
    0.128936767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40506680
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434829711914062 × 2 - 1) × π
    0.130340576171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.40947699655452
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40506680} λ = 0.40506680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.40947699655452))-π/2
    2×atan(1.5060299202655)-π/2
    2×0.984643932006675-π/2
    1.96928786401335-1.57079632675     		φ = 0.39849154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40506680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.208618°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39849154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.831883°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36993 KachelY 28497 0.40506680 0.39849154 23.208618 22.831883
    Oben rechts KachelX + 1 36994 KachelY 28497 0.40516268 0.39849154 23.214112 22.831883
    Unten links KachelX 36993 KachelY + 1 28498 0.40506680 0.39840317 23.208618 22.826820
    Unten rechts KachelX + 1 36994 KachelY + 1 28498 0.40516268 0.39840317 23.214112 22.826820
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39849154-0.39840317) × R
    8.83700000000043e-05 × 6371000     		dl = 563.005270000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39849154-0.39840317) × R
    8.83700000000043e-05 × 6371000     		dr = 563.005270000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40506680-0.40516268) × cos(0.39849154) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.921647367858105 × 6371000     		do = 562.989658694184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40506680-0.40516268) × cos(0.39840317) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.921681654339339 × 6371000     		du = 563.01060264199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39849154)-sin(0.39840317))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.921647367858105-0.921681654339339)×R²
    abs(0.40516268-0.40506680)×3.42864812341581e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.42864812341581e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.42864812341581e-05×40589641000000     		ar = 316972.040783066m²