Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36992 / 68737
↖ ↑ ↗
← S  8.757509°
W 78.398437°		 ← 301.80 m → S  8.757509°
W 78.395691°		 →
↑
301.86 m
↓
↑
301.86 m
↓
S  8.760224°
W 78.398437°		 ← 301.80 m →
91 101 m²		 S  8.760224°
W 78.395691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68737 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282230377197266 y=0.524425506591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282230377197266 × 217)
    floor (0.282230377197266 × 131072)
    floor (36992.5)     		tx = 36992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524425506591797 × 217)
    floor (0.524425506591797 × 131072)
    floor (68737.5)     		ty = 68737
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36992 / 68737 ti = "17/36992/68737"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36992/68737.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36992 ÷ 217
    36992 ÷ 131072     		x = 0.2822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68737 ÷ 217
    68737 ÷ 131072     		y = 0.524421691894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2822265625 × 2 - 1) × π
    -0.435546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.36831086
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524421691894531 × 2 - 1) × π
    -0.0488433837890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.1534460156838
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36831086} λ = -1.36831086}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.1534460156838))-π/2
    2×atan(0.857747067837911)-π/2
    2×0.708974477851164-π/2
    1.41794895570233-1.57079632675     		φ = -0.15284737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36831086} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.398437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15284737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.757509°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36992 KachelY 68737 -1.36831086 -0.15284737 -78.398437 -8.757509
    Oben rechts KachelX + 1 36993 KachelY 68737 -1.36826293 -0.15284737 -78.395691 -8.757509
    Unten links KachelX 36992 KachelY + 1 68738 -1.36831086 -0.15289475 -78.398437 -8.760224
    Unten rechts KachelX + 1 36993 KachelY + 1 68738 -1.36826293 -0.15289475 -78.395691 -8.760224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15284737--0.15289475) × R
    4.73799999999858e-05 × 6371000     		dl = 301.857979999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15284737--0.15289475) × R
    4.73799999999858e-05 × 6371000     		dr = 301.857979999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36831086--1.36826293) × cos(-0.15284737) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.988341564619828 × 6371000     		do = 301.801986505872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36831086--1.36826293) × cos(-0.15289475) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.988334349767135 × 6371000     		du = 301.799783363807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15284737)-sin(-0.15289475))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988341564619828-0.988334349767135)×R²
    abs(-1.36826293--1.36831086)×7.21485269272737e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.21485269272737e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.21485269272737e-06×40589641000000     		ar = 91101.0055056568m²