Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36992 / 27519
↖ ↑ ↗
← N 27.688392°
E 23.203125°		 ← 540.85 m → N 27.688392°
E 23.208618°		 →
↑
540.90 m
↓
↑
540.90 m
↓
N 27.683528°
E 23.203125°		 ← 540.87 m →
292 548 m²		 N 27.683528°
E 23.208618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564460754394531 y=0.419914245605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564460754394531 × 216)
    floor (0.564460754394531 × 65536)
    floor (36992.5)     		tx = 36992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419914245605469 × 216)
    floor (0.419914245605469 × 65536)
    floor (27519.5)     		ty = 27519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36992 / 27519 ti = "16/36992/27519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36992/27519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36992 ÷ 216
    36992 ÷ 65536     		x = 0.564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27519 ÷ 216
    27519 ÷ 65536     		y = 0.419906616210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564453125 × 2 - 1) × π
    0.12890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40497093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419906616210938 × 2 - 1) × π
    0.160186767578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.503241572211349
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40497093} λ = 0.40497093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.503241572211349))-π/2
    2×atan(1.65407439133158)-π/2
    2×1.02702496869062-π/2
    2.05404993738124-1.57079632675     		φ = 0.48325361
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40497093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.203125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48325361 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.688392°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36992 KachelY 27519 0.40497093 0.48325361 23.203125 27.688392
    Oben rechts KachelX + 1 36993 KachelY 27519 0.40506680 0.48325361 23.208618 27.688392
    Unten links KachelX 36992 KachelY + 1 27520 0.40497093 0.48316871 23.203125 27.683528
    Unten rechts KachelX + 1 36993 KachelY + 1 27520 0.40506680 0.48316871 23.208618 27.683528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48325361-0.48316871) × R
    8.48999999999989e-05 × 6371000     		dl = 540.897899999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48325361-0.48316871) × R
    8.48999999999989e-05 × 6371000     		dr = 540.897899999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40497093-0.40506680) × cos(0.48325361) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.885487781236523 × 6371000     		do = 540.845107263692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40497093-0.40506680) × cos(0.48316871) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.885527227905161 × 6371000     		du = 540.869200806463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48325361)-sin(0.48316871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.885487781236523-0.885527227905161)×R²
    abs(0.40506680-0.40497093)×3.94466686379769e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.94466686379769e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.94466686379769e-05×40589641000000     		ar = 292548.498993293m²