Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36991 / 68738
↖ ↑ ↗
← S  8.760224°
W 78.401184°		 ← 301.86 m → S  8.760224°
W 78.398437°		 →
↑
301.86 m
↓
↑
301.86 m
↓
S  8.762939°
W 78.401184°		 ← 301.86 m →
91 119 m²		 S  8.762939°
W 78.398437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282222747802734 y=0.524433135986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282222747802734 × 217)
    floor (0.282222747802734 × 131072)
    floor (36991.5)     		tx = 36991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524433135986328 × 217)
    floor (0.524433135986328 × 131072)
    floor (68738.5)     		ty = 68738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36991 / 68738 ti = "17/36991/68738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36991/68738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36991 ÷ 217
    36991 ÷ 131072     		x = 0.282218933105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68738 ÷ 217
    68738 ÷ 131072     		y = 0.524429321289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282218933105469 × 2 - 1) × π
    -0.435562133789062 × 3.1415926535     		Λ = -1.36835880
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524429321289062 × 2 - 1) × π
    -0.048858642578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.15349395258342
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36835880} λ = -1.36835880}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.15349395258342))-π/2
    2×atan(0.857705951088334)-π/2
    2×0.708950788922437-π/2
    1.41790157784487-1.57079632675     		φ = -0.15289475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36835880} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.401184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15289475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.760224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36991 KachelY 68738 -1.36835880 -0.15289475 -78.401184 -8.760224
    Oben rechts KachelX + 1 36992 KachelY 68738 -1.36831086 -0.15289475 -78.398437 -8.760224
    Unten links KachelX 36991 KachelY + 1 68739 -1.36835880 -0.15294213 -78.401184 -8.762939
    Unten rechts KachelX + 1 36992 KachelY + 1 68739 -1.36831086 -0.15294213 -78.398437 -8.762939
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15289475--0.15294213) × R
    4.73800000000135e-05 × 6371000     		dl = 301.857980000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15289475--0.15294213) × R
    4.73800000000135e-05 × 6371000     		dr = 301.857980000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36835880--1.36831086) × cos(-0.15289475) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.988334349767135 × 6371000     		do = 301.862750144848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36835880--1.36831086) × cos(-0.15294213) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.988327132695766 × 6371000     		du = 301.860545865485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15289475)-sin(-0.15294213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988334349767135-0.988327132695766)×R²
    abs(-1.36831086--1.36835880)×7.21707136930316e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.21707136930316e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.21707136930316e-06×40589641000000     		ar = 91119.34732336m²