Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36991 / 45228
↖ ↑ ↗
← S 56.304349°
E 23.197632°		 ← 338.89 m → S 56.304349°
E 23.203125°		 →
↑
338.81 m
↓
↑
338.81 m
↓
S 56.307396°
E 23.197632°		 ← 338.86 m →
114 814 m²		 S 56.307396°
E 23.203125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564445495605469 y=0.690132141113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564445495605469 × 216)
    floor (0.564445495605469 × 65536)
    floor (36991.5)     		tx = 36991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690132141113281 × 216)
    floor (0.690132141113281 × 65536)
    floor (45228.5)     		ty = 45228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36991 / 45228 ti = "16/36991/45228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36991/45228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36991 ÷ 216
    36991 ÷ 65536     		x = 0.564437866210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45228 ÷ 216
    45228 ÷ 65536     		y = 0.69012451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564437866210938 × 2 - 1) × π
    0.128875732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40487505
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69012451171875 × 2 - 1) × π
    -0.3802490234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.1945875385318
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40487505} λ = 0.40487505}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1945875385318))-π/2
    2×atan(0.302828833651729)-π/2
    2×0.29405002985502-π/2
    0.58810005971004-1.57079632675     		φ = -0.98269627
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40487505} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.197632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98269627 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.304349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36991 KachelY 45228 0.40487505 -0.98269627 23.197632 -56.304349
    Oben rechts KachelX + 1 36992 KachelY 45228 0.40497093 -0.98269627 23.203125 -56.304349
    Unten links KachelX 36991 KachelY + 1 45229 0.40487505 -0.98274945 23.197632 -56.307396
    Unten rechts KachelX + 1 36992 KachelY + 1 45229 0.40497093 -0.98274945 23.203125 -56.307396
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98269627--0.98274945) × R
    5.3179999999986e-05 × 6371000     		dl = 338.809779999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98269627--0.98274945) × R
    5.3179999999986e-05 × 6371000     		dr = 338.809779999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40487505-0.40497093) × cos(-0.98269627) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.554781279594194 × 6371000     		do = 338.888965716381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40487505-0.40497093) × cos(-0.98274945) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.554737033250049 × 6371000     		du = 338.861937771576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98269627)-sin(-0.98274945))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554781279594194-0.554737033250049)×R²
    abs(0.40497093-0.40487505)×4.42463441446828e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.42463441446828e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.42463441446828e-05×40589641000000     		ar = 114814.317279992m²