Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36991 / 30847
↖ ↑ ↗
← N 10.493213°
E 23.197632°		 ← 600.64 m → N 10.493213°
E 23.203125°		 →
↑
600.59 m
↓
↑
600.59 m
↓
N 10.487812°
E 23.197632°		 ← 600.65 m →
360 742 m²		 N 10.487812°
E 23.203125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30847 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564445495605469 y=0.470695495605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564445495605469 × 216)
    floor (0.564445495605469 × 65536)
    floor (36991.5)     		tx = 36991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.470695495605469 × 216)
    floor (0.470695495605469 × 65536)
    floor (30847.5)     		ty = 30847
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36991 / 30847 ti = "16/36991/30847"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36991/30847.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36991 ÷ 216
    36991 ÷ 65536     		x = 0.564437866210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30847 ÷ 216
    30847 ÷ 65536     		y = 0.470687866210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564437866210938 × 2 - 1) × π
    0.128875732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40487505
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.470687866210938 × 2 - 1) × π
    0.058624267578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.184173568340256
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40487505} λ = 0.40487505}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.184173568340256))-π/2
    2×atan(1.20222447309467)-π/2
    2×0.876968723368375-π/2
    1.75393744673675-1.57079632675     		φ = 0.18314112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40487505} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.197632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18314112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.493213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36991 KachelY 30847 0.40487505 0.18314112 23.197632 10.493213
    Oben rechts KachelX + 1 36992 KachelY 30847 0.40497093 0.18314112 23.203125 10.493213
    Unten links KachelX 36991 KachelY + 1 30848 0.40487505 0.18304685 23.197632 10.487812
    Unten rechts KachelX + 1 36992 KachelY + 1 30848 0.40497093 0.18304685 23.203125 10.487812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18314112-0.18304685) × R
    9.42699999999796e-05 × 6371000     		dl = 600.59416999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18314112-0.18304685) × R
    9.42699999999796e-05 × 6371000     		dr = 600.59416999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40487505-0.40497093) × cos(0.18314112) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.983276486729953 × 6371000     		do = 600.635897168146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40487505-0.40497093) × cos(0.18304685) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.983293650724252 × 6371000     		du = 600.646381819466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18314112)-sin(0.18304685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983276486729953-0.983293650724252)×R²
    abs(0.40497093-0.40487505)×1.71639942988522e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.71639942988522e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.71639942988522e-05×40589641000000     		ar = 360741.566909232m²