Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36991 / 30267
↖ ↑ ↗
← N 13.608617°
E 23.197632°		 ← 593.70 m → N 13.608617°
E 23.203125°		 →
↑
593.71 m
↓
↑
593.71 m
↓
N 13.603278°
E 23.197632°		 ← 593.72 m →
352 493 m²		 N 13.603278°
E 23.203125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564445495605469 y=0.461845397949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564445495605469 × 216)
    floor (0.564445495605469 × 65536)
    floor (36991.5)     		tx = 36991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461845397949219 × 216)
    floor (0.461845397949219 × 65536)
    floor (30267.5)     		ty = 30267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36991 / 30267 ti = "16/36991/30267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36991/30267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36991 ÷ 216
    36991 ÷ 65536     		x = 0.564437866210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30267 ÷ 216
    30267 ÷ 65536     		y = 0.461837768554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564437866210938 × 2 - 1) × π
    0.128875732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40487505
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461837768554688 × 2 - 1) × π
    0.076324462890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.239780371899521
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40487505} λ = 0.40487505}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.239780371899521))-π/2
    2×atan(1.27096997894335)-π/2
    2×0.904155751259257-π/2
    1.80831150251851-1.57079632675     		φ = 0.23751518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40487505} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.197632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23751518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.608617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36991 KachelY 30267 0.40487505 0.23751518 23.197632 13.608617
    Oben rechts KachelX + 1 36992 KachelY 30267 0.40497093 0.23751518 23.203125 13.608617
    Unten links KachelX 36991 KachelY + 1 30268 0.40487505 0.23742199 23.197632 13.603278
    Unten rechts KachelX + 1 36992 KachelY + 1 30268 0.40497093 0.23742199 23.203125 13.603278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23751518-0.23742199) × R
    9.3189999999993e-05 × 6371000     		dl = 593.713489999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23751518-0.23742199) × R
    9.3189999999993e-05 × 6371000     		dr = 593.713489999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40487505-0.40497093) × cos(0.23751518) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.971925623805153 × 6371000     		do = 593.702205751255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40487505-0.40497093) × cos(0.23742199) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.971947546101053 × 6371000     		du = 593.715597018151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23751518)-sin(0.23742199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971925623805153-0.971947546101053)×R²
    abs(0.40497093-0.40487505)×2.19222959008114e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.19222959008114e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.19222959008114e-05×40589641000000     		ar = 352492.984140256m²