Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36991 / 28463
↖ ↑ ↗
← N 23.003908°
E 23.197632°		 ← 562.28 m → N 23.003908°
E 23.203125°		 →
↑
562.30 m
↓
↑
562.30 m
↓
N 22.998851°
E 23.197632°		 ← 562.30 m →
316 176 m²		 N 22.998851°
E 23.203125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564445495605469 y=0.434318542480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564445495605469 × 216)
    floor (0.564445495605469 × 65536)
    floor (36991.5)     		tx = 36991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434318542480469 × 216)
    floor (0.434318542480469 × 65536)
    floor (28463.5)     		ty = 28463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36991 / 28463 ti = "16/36991/28463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36991/28463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36991 ÷ 216
    36991 ÷ 65536     		x = 0.564437866210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28463 ÷ 216
    28463 ÷ 65536     		y = 0.434310913085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564437866210938 × 2 - 1) × π
    0.128875732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40487505
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434310913085938 × 2 - 1) × π
    0.131378173828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.412736705728683
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40487505} λ = 0.40487505}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.412736705728683))-π/2
    2×atan(1.51094714982823)-π/2
    2×0.986145131337347-π/2
    1.97229026267469-1.57079632675     		φ = 0.40149394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40487505} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.197632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40149394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.003908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36991 KachelY 28463 0.40487505 0.40149394 23.197632 23.003908
    Oben rechts KachelX + 1 36992 KachelY 28463 0.40497093 0.40149394 23.203125 23.003908
    Unten links KachelX 36991 KachelY + 1 28464 0.40487505 0.40140568 23.197632 22.998851
    Unten rechts KachelX + 1 36992 KachelY + 1 28464 0.40497093 0.40140568 23.203125 22.998851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40149394-0.40140568) × R
    8.82600000000067e-05 × 6371000     		dl = 562.304460000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40149394-0.40140568) × R
    8.82600000000067e-05 × 6371000     		dr = 562.304460000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40487505-0.40497093) × cos(0.40149394) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.920478198743085 × 6371000     		do = 562.275470009905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40487505-0.40497093) × cos(0.40140568) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.92051268662898 × 6371000     		du = 562.296536986045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40149394)-sin(0.40140568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.920478198743085-0.92051268662898)×R²
    abs(0.40497093-0.40487505)×3.44878858948849e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.44878858948849e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.44878858948849e-05×40589641000000     		ar = 316175.927767653m²