Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3699 / 5163
↖ ↑ ↗
← S 42.391008°
W 17.446289°		 ← 3 608.97 m → S 42.391008°
W 17.402344°		 →
↑
3 608.09 m
↓
↑
3 608.09 m
↓
S 42.423457°
W 17.446289°		 ← 3 607.11 m →
13 018 131 m²		 S 42.423457°
W 17.402344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3699 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45159912109375 y=0.63031005859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45159912109375 × 213)
    floor (0.45159912109375 × 8192)
    floor (3699.5)     		tx = 3699
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.63031005859375 × 213)
    floor (0.63031005859375 × 8192)
    floor (5163.5)     		ty = 5163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3699 / 5163 ti = "13/3699/5163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3699/5163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3699 ÷ 213
    3699 ÷ 8192     		x = 0.4515380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5163 ÷ 213
    5163 ÷ 8192     		y = 0.6302490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4515380859375 × 2 - 1) × π
    -0.096923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30449519
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6302490234375 × 2 - 1) × π
    -0.260498046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.818378750313599
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30449519} λ = -0.30449519}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.818378750313599))-π/2
    2×atan(0.441146283327094)-π/2
    2×0.415466826670141-π/2
    0.830933653340282-1.57079632675     		φ = -0.73986267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30449519} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.446289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73986267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.391008°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3699 KachelY 5163 -0.30449519 -0.73986267 -17.446289 -42.391008
    Oben rechts KachelX + 1 3700 KachelY 5163 -0.30372820 -0.73986267 -17.402344 -42.391008
    Unten links KachelX 3699 KachelY + 1 5164 -0.30449519 -0.74042900 -17.446289 -42.423457
    Unten rechts KachelX + 1 3700 KachelY + 1 5164 -0.30372820 -0.74042900 -17.402344 -42.423457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73986267--0.74042900) × R
    0.000566330000000059 × 6371000     		dl = 3608.08843000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73986267--0.74042900) × R
    0.000566330000000059 × 6371000     		dr = 3608.08843000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30449519--0.30372820) × cos(-0.73986267) × R
    0.000766990000000023 × 0.738561151724616 × 6371000     		do = 3608.97411215712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30449519--0.30372820) × cos(-0.74042900) × R
    0.000766990000000023 × 0.738179221270127 × 6371000     		du = 3607.10781155401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73986267)-sin(-0.74042900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.738561151724616-0.738179221270127)×R²
    abs(-0.30372820--0.30449519)×0.000381930454488866×R²
    0.000766990000000023×0.000381930454488866×6371000²
    0.000766990000000023×0.000381930454488866×40589641000000     		ar = 13018131.19738m²