Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3699 / 2435
↖ ↑ ↗
← N 58.745407°
W 17.446289°		 ← 2 535.32 m → N 58.745407°
W 17.402344°		 →
↑
2 536.17 m
↓
↑
2 536.17 m
↓
N 58.722599°
W 17.446289°		 ← 2 536.98 m →
6 432 097 m²		 N 58.722599°
W 17.402344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3699 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45159912109375 y=0.29730224609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45159912109375 × 213)
    floor (0.45159912109375 × 8192)
    floor (3699.5)     		tx = 3699
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.29730224609375 × 213)
    floor (0.29730224609375 × 8192)
    floor (2435.5)     		ty = 2435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3699 / 2435 ti = "13/3699/2435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3699/2435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3699 ÷ 213
    3699 ÷ 8192     		x = 0.4515380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2435 ÷ 213
    2435 ÷ 8192     		y = 0.2972412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4515380859375 × 2 - 1) × π
    -0.096923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30449519
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2972412109375 × 2 - 1) × π
    0.405517578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.27397104430261
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30449519} λ = -0.30449519}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27397104430261))-π/2
    2×atan(3.57502097872155)-π/2
    2×1.29804854940088-π/2
    2.59609709880175-1.57079632675     		φ = 1.02530077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30449519} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.446289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02530077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.745407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3699 KachelY 2435 -0.30449519 1.02530077 -17.446289 58.745407
    Oben rechts KachelX + 1 3700 KachelY 2435 -0.30372820 1.02530077 -17.402344 58.745407
    Unten links KachelX 3699 KachelY + 1 2436 -0.30449519 1.02490269 -17.446289 58.722599
    Unten rechts KachelX + 1 3700 KachelY + 1 2436 -0.30372820 1.02490269 -17.402344 58.722599
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02530077-1.02490269) × R
    0.000398080000000078 × 6371000     		dl = 2536.1676800005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02530077-1.02490269) × R
    0.000398080000000078 × 6371000     		dr = 2536.1676800005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30449519--0.30372820) × cos(1.02530077) × R
    0.000766990000000023 × 0.518841790970962 × 6371000     		do = 2535.31693015126m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30449519--0.30372820) × cos(1.02490269) × R
    0.000766990000000023 × 0.519182056613281 × 6371000     		du = 2536.97963592927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02530077)-sin(1.02490269))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.518841790970962-0.519182056613281)×R²
    abs(-0.30372820--0.30449519)×0.00034026564231926×R²
    0.000766990000000023×0.00034026564231926×6371000²
    0.000766990000000023×0.00034026564231926×40589641000000     		ar = 6432097.39207516m²