Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3699 / 2415
↖ ↑ ↗
← N 59.198439°
W 17.446289°		 ← 2 502.21 m → N 59.198439°
W 17.402344°		 →
↑
2 503.04 m
↓
↑
2 503.04 m
↓
N 59.175928°
W 17.446289°		 ← 2 503.86 m →
6 265 187 m²		 N 59.175928°
W 17.402344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3699 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2415 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45159912109375 y=0.29486083984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45159912109375 × 213)
    floor (0.45159912109375 × 8192)
    floor (3699.5)     		tx = 3699
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.29486083984375 × 213)
    floor (0.29486083984375 × 8192)
    floor (2415.5)     		ty = 2415
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3699 / 2415 ti = "13/3699/2415"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3699/2415.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3699 ÷ 213
    3699 ÷ 8192     		x = 0.4515380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2415 ÷ 213
    2415 ÷ 8192     		y = 0.2947998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4515380859375 × 2 - 1) × π
    -0.096923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30449519
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2947998046875 × 2 - 1) × π
    0.410400390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.28931085218103
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30449519} λ = -0.30449519}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28931085218103))-π/2
    2×atan(3.63028389127306)-π/2
    2×1.3020019959765-π/2
    2.60400399195301-1.57079632675     		φ = 1.03320767
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30449519} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.446289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03320767 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.198439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3699 KachelY 2415 -0.30449519 1.03320767 -17.446289 59.198439
    Oben rechts KachelX + 1 3700 KachelY 2415 -0.30372820 1.03320767 -17.402344 59.198439
    Unten links KachelX 3699 KachelY + 1 2416 -0.30449519 1.03281479 -17.446289 59.175928
    Unten rechts KachelX + 1 3700 KachelY + 1 2416 -0.30372820 1.03281479 -17.402344 59.175928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03320767-1.03281479) × R
    0.000392879999999929 × 6371000     		dl = 2503.03847999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03320767-1.03281479) × R
    0.000392879999999929 × 6371000     		dr = 2503.03847999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30449519--0.30372820) × cos(1.03320767) × R
    0.000766990000000023 × 0.512066268915973 × 6371000     		do = 2502.20838709331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30449519--0.30372820) × cos(1.03281479) × R
    0.000766990000000023 × 0.512403692070203 × 6371000     		du = 2503.85720307235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03320767)-sin(1.03281479))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.512066268915973-0.512403692070203)×R²
    abs(-0.30372820--0.30449519)×0.000337423154230132×R²
    0.000766990000000023×0.000337423154230132×6371000²
    0.000766990000000023×0.000337423154230132×40589641000000     		ar = 6265187.48337912m²