Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36989 / 68796
↖ ↑ ↗
← S  8.917634°
W 78.406677°		 ← 301.67 m → S  8.917634°
W 78.403931°		 →
↑
301.73 m
↓
↑
301.73 m
↓
S  8.920347°
W 78.406677°		 ← 301.67 m →
91 023 m²		 S  8.920347°
W 78.403931°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282207489013672 y=0.524875640869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282207489013672 × 217)
    floor (0.282207489013672 × 131072)
    floor (36989.5)     		tx = 36989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524875640869141 × 217)
    floor (0.524875640869141 × 131072)
    floor (68796.5)     		ty = 68796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36989 / 68796 ti = "17/36989/68796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36989/68796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36989 ÷ 217
    36989 ÷ 131072     		x = 0.282203674316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68796 ÷ 217
    68796 ÷ 131072     		y = 0.524871826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282203674316406 × 2 - 1) × π
    -0.435592651367188 × 3.1415926535     		Λ = -1.36845467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524871826171875 × 2 - 1) × π
    -0.04974365234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.156274292761383
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36845467} λ = -1.36845467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.156274292761383))-π/2
    2×atan(0.85532454885987)-π/2
    2×0.707577128655203-π/2
    1.41515425731041-1.57079632675     		φ = -0.15564207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36845467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.406677°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15564207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.917634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36989 KachelY 68796 -1.36845467 -0.15564207 -78.406677 -8.917634
    Oben rechts KachelX + 1 36990 KachelY 68796 -1.36840674 -0.15564207 -78.403931 -8.917634
    Unten links KachelX 36989 KachelY + 1 68797 -1.36845467 -0.15568943 -78.406677 -8.920347
    Unten rechts KachelX + 1 36990 KachelY + 1 68797 -1.36840674 -0.15568943 -78.403931 -8.920347
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15564207--0.15568943) × R
    4.73599999999963e-05 × 6371000     		dl = 301.730559999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15564207--0.15568943) × R
    4.73599999999963e-05 × 6371000     		dr = 301.730559999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36845467--1.36840674) × cos(-0.15564207) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.98791220429491 × 6371000     		do = 301.670876165453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36845467--1.36840674) × cos(-0.15568943) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.987904861703106 × 6371000     		du = 301.668634016714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15564207)-sin(-0.15568943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98791220429491-0.987904861703106)×R²
    abs(-1.36840674--1.36845467)×7.34259180368291e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.34259180368291e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.34259180368291e-06×40589641000000     		ar = 91022.9841556963m²