Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36987 / 30637
↖ ↑ ↗
← N 11.625335°
E 23.175659°		 ← 598.26 m → N 11.625335°
E 23.181152°		 →
↑
598.30 m
↓
↑
598.30 m
↓
N 11.619955°
E 23.175659°		 ← 598.27 m →
357 942 m²		 N 11.619955°
E 23.181152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30637 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564384460449219 y=0.467491149902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564384460449219 × 216)
    floor (0.564384460449219 × 65536)
    floor (36987.5)     		tx = 36987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467491149902344 × 216)
    floor (0.467491149902344 × 65536)
    floor (30637.5)     		ty = 30637
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36987 / 30637 ti = "16/36987/30637"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36987/30637.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36987 ÷ 216
    36987 ÷ 65536     		x = 0.564376831054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30637 ÷ 216
    30637 ÷ 65536     		y = 0.467483520507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564376831054688 × 2 - 1) × π
    0.128753662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40449156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467483520507812 × 2 - 1) × π
    0.065032958984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.204307066180679
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40449156} λ = 0.40449156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.204307066180679))-π/2
    2×atan(1.22667476596609)-π/2
    2×0.886848352310286-π/2
    1.77369670462057-1.57079632675     		φ = 0.20290038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40449156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.175659°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20290038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.625335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36987 KachelY 30637 0.40449156 0.20290038 23.175659 11.625335
    Oben rechts KachelX + 1 36988 KachelY 30637 0.40458743 0.20290038 23.181152 11.625335
    Unten links KachelX 36987 KachelY + 1 30638 0.40449156 0.20280647 23.175659 11.619955
    Unten rechts KachelX + 1 36988 KachelY + 1 30638 0.40458743 0.20280647 23.181152 11.619955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20290038-0.20280647) × R
    9.39100000000026e-05 × 6371000     		dl = 598.300610000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20290038-0.20280647) × R
    9.39100000000026e-05 × 6371000     		dr = 598.300610000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40449156-0.40458743) × cos(0.20290038) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.979486239838291 × 6371000     		do = 598.258216176502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40449156-0.40458743) × cos(0.20280647) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.979505159422509 × 6371000     		du = 598.269772027156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20290038)-sin(0.20280647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979486239838291-0.979505159422509)×R²
    abs(0.40458743-0.40449156)×1.89195842179579e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.89195842179579e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.89195842179579e-05×40589641000000     		ar = 357941.712875293m²