Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36987 / 28316
↖ ↑ ↗
← N 23.745126°
E 23.175659°		 ← 559.08 m → N 23.745126°
E 23.181152°		 →
↑
559.12 m
↓
↑
559.12 m
↓
N 23.740098°
E 23.175659°		 ← 559.10 m →
312 599 m²		 N 23.740098°
E 23.181152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564384460449219 y=0.432075500488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564384460449219 × 216)
    floor (0.564384460449219 × 65536)
    floor (36987.5)     		tx = 36987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432075500488281 × 216)
    floor (0.432075500488281 × 65536)
    floor (28316.5)     		ty = 28316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36987 / 28316 ti = "16/36987/28316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36987/28316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36987 ÷ 216
    36987 ÷ 65536     		x = 0.564376831054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28316 ÷ 216
    28316 ÷ 65536     		y = 0.43206787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564376831054688 × 2 - 1) × π
    0.128753662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40449156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43206787109375 × 2 - 1) × π
    0.1358642578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.42683015421698
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40449156} λ = 0.40449156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.42683015421698))-π/2
    2×atan(1.53239236923801)-π/2
    2×0.992613477220881-π/2
    1.98522695444176-1.57079632675     		φ = 0.41443063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40449156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.175659°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41443063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.745126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36987 KachelY 28316 0.40449156 0.41443063 23.175659 23.745126
    Oben rechts KachelX + 1 36988 KachelY 28316 0.40458743 0.41443063 23.181152 23.745126
    Unten links KachelX 36987 KachelY + 1 28317 0.40449156 0.41434287 23.175659 23.740098
    Unten rechts KachelX + 1 36988 KachelY + 1 28317 0.40458743 0.41434287 23.181152 23.740098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41443063-0.41434287) × R
    8.77600000000478e-05 × 6371000     		dl = 559.118960000305m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41443063-0.41434287) × R
    8.77600000000478e-05 × 6371000     		dr = 559.118960000305m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40449156-0.40458743) × cos(0.41443063) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.915345736400686 × 6371000     		do = 559.081981115171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40449156-0.40458743) × cos(0.41434287) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.915381071091835 × 6371000     		du = 559.103563112381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41443063)-sin(0.41434287))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915345736400686-0.915381071091835)×R²
    abs(0.40458743-0.40449156)×3.53346911483587e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.53346911483587e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.53346911483587e-05×40589641000000     		ar = 312599.369488562m²