Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36985 / 30653
↖ ↑ ↗
← N 11.539234°
E 23.164673°		 ← 598.50 m → N 11.539234°
E 23.170166°		 →
↑
598.43 m
↓
↑
598.43 m
↓
N 11.533852°
E 23.164673°		 ← 598.52 m →
358 166 m²		 N 11.533852°
E 23.170166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564353942871094 y=0.467735290527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564353942871094 × 216)
    floor (0.564353942871094 × 65536)
    floor (36985.5)     		tx = 36985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467735290527344 × 216)
    floor (0.467735290527344 × 65536)
    floor (30653.5)     		ty = 30653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36985 / 30653 ti = "16/36985/30653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36985/30653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36985 ÷ 216
    36985 ÷ 65536     		x = 0.564346313476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30653 ÷ 216
    30653 ÷ 65536     		y = 0.467727661132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564346313476562 × 2 - 1) × π
    0.128692626953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40429981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467727661132812 × 2 - 1) × π
    0.064544677734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.202773085392838
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40429981} λ = 0.40429981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.202773085392838))-π/2
    2×atan(1.22479451294687)-π/2
    2×0.886096979931837-π/2
    1.77219395986367-1.57079632675     		φ = 0.20139763
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40429981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.164673°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20139763 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.539234°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36985 KachelY 30653 0.40429981 0.20139763 23.164673 11.539234
    Oben rechts KachelX + 1 36986 KachelY 30653 0.40439569 0.20139763 23.170166 11.539234
    Unten links KachelX 36985 KachelY + 1 30654 0.40429981 0.20130370 23.164673 11.533852
    Unten rechts KachelX + 1 36986 KachelY + 1 30654 0.40439569 0.20130370 23.170166 11.533852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20139763-0.20130370) × R
    9.39299999999921e-05 × 6371000     		dl = 598.42802999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20139763-0.20130370) × R
    9.39299999999921e-05 × 6371000     		dr = 598.42802999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40429981-0.40439569) × cos(0.20139763) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.979787954498858 × 6371000     		do = 598.504922091754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40429981-0.40439569) × cos(0.20130370) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.979806739831084 × 6371000     		du = 598.516397139747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20139763)-sin(0.20130370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979787954498858-0.979806739831084)×R²
    abs(0.40439569-0.40429981)×1.87853322261011e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.87853322261011e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.87853322261011e-05×40589641000000     		ar = 358165.555231157m²