Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36985 / 30263
↖ ↑ ↗
← N 13.629972°
E 23.164673°		 ← 593.65 m → N 13.629972°
E 23.170166°		 →
↑
593.65 m
↓
↑
593.65 m
↓
N 13.624633°
E 23.164673°		 ← 593.66 m →
352 423 m²		 N 13.624633°
E 23.170166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564353942871094 y=0.461784362792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564353942871094 × 216)
    floor (0.564353942871094 × 65536)
    floor (36985.5)     		tx = 36985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461784362792969 × 216)
    floor (0.461784362792969 × 65536)
    floor (30263.5)     		ty = 30263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36985 / 30263 ti = "16/36985/30263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36985/30263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36985 ÷ 216
    36985 ÷ 65536     		x = 0.564346313476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30263 ÷ 216
    30263 ÷ 65536     		y = 0.461776733398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564346313476562 × 2 - 1) × π
    0.128692626953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40429981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461776733398438 × 2 - 1) × π
    0.076446533203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.240163867096481
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40429981} λ = 0.40429981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.240163867096481))-π/2
    2×atan(1.27145748329757)-π/2
    2×0.904342107251644-π/2
    1.80868421450329-1.57079632675     		φ = 0.23788789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40429981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.164673°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23788789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.629972°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36985 KachelY 30263 0.40429981 0.23788789 23.164673 13.629972
    Oben rechts KachelX + 1 36986 KachelY 30263 0.40439569 0.23788789 23.170166 13.629972
    Unten links KachelX 36985 KachelY + 1 30264 0.40429981 0.23779471 23.164673 13.624633
    Unten rechts KachelX + 1 36986 KachelY + 1 30264 0.40439569 0.23779471 23.170166 13.624633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23788789-0.23779471) × R
    9.31799999999983e-05 × 6371000     		dl = 593.649779999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23788789-0.23779471) × R
    9.31799999999983e-05 × 6371000     		dr = 593.649779999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40429981-0.40439569) × cos(0.23788789) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.971837862000305 × 6371000     		do = 593.648596322877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40429981-0.40439569) × cos(0.23779471) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.971859815697206 × 6371000     		du = 593.66200677112m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23788789)-sin(0.23779471))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971837862000305-0.971859815697206)×R²
    abs(0.40439569-0.40429981)×2.19536969005008e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.19536969005008e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.19536969005008e-05×40589641000000     		ar = 352423.339414193m²