Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36984 / 30632
↖ ↑ ↗
← N 11.652236°
E 23.159180°		 ← 598.20 m → N 11.652236°
E 23.164673°		 →
↑
598.24 m
↓
↑
598.24 m
↓
N 11.646856°
E 23.159180°		 ← 598.21 m →
357 869 m²		 N 11.646856°
E 23.164673°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30632 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564338684082031 y=0.467414855957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564338684082031 × 216)
    floor (0.564338684082031 × 65536)
    floor (36984.5)     		tx = 36984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467414855957031 × 216)
    floor (0.467414855957031 × 65536)
    floor (30632.5)     		ty = 30632
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36984 / 30632 ti = "16/36984/30632"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36984/30632.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36984 ÷ 216
    36984 ÷ 65536     		x = 0.5643310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30632 ÷ 216
    30632 ÷ 65536     		y = 0.4674072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5643310546875 × 2 - 1) × π
    0.128662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40420394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4674072265625 × 2 - 1) × π
    0.065185546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.20478643517688
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40420394} λ = 0.40420394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.20478643517688))-π/2
    2×atan(1.22726293678148)-π/2
    2×0.887083108630861-π/2
    1.77416621726172-1.57079632675     		φ = 0.20336989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40420394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.159180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20336989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.652236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36984 KachelY 30632 0.40420394 0.20336989 23.159180 11.652236
    Oben rechts KachelX + 1 36985 KachelY 30632 0.40429981 0.20336989 23.164673 11.652236
    Unten links KachelX 36984 KachelY + 1 30633 0.40420394 0.20327599 23.159180 11.646856
    Unten rechts KachelX + 1 36985 KachelY + 1 30633 0.40429981 0.20327599 23.164673 11.646856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20336989-0.20327599) × R
    9.39000000000079e-05 × 6371000     		dl = 598.23690000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20336989-0.20327599) × R
    9.39000000000079e-05 × 6371000     		dr = 598.23690000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40420394-0.40429981) × cos(0.20336989) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.979391520426746 × 6371000     		do = 598.200362718349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40420394-0.40429981) × cos(0.20327599) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.979410481177703 × 6371000     		du = 598.211943713143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20336989)-sin(0.20327599))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979391520426746-0.979410481177703)×R²
    abs(0.40429981-0.40420394)×1.89607509566425e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.89607509566425e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.89607509566425e-05×40589641000000     		ar = 357868.994923697m²