Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36984 / 30261
↖ ↑ ↗
← N 13.640649°
E 23.159180°		 ← 593.56 m → N 13.640649°
E 23.164673°		 →
↑
593.59 m
↓
↑
593.59 m
↓
N 13.635310°
E 23.159180°		 ← 593.57 m →
352 333 m²		 N 13.635310°
E 23.164673°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564338684082031 y=0.461753845214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564338684082031 × 216)
    floor (0.564338684082031 × 65536)
    floor (36984.5)     		tx = 36984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461753845214844 × 216)
    floor (0.461753845214844 × 65536)
    floor (30261.5)     		ty = 30261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36984 / 30261 ti = "16/36984/30261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36984/30261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36984 ÷ 216
    36984 ÷ 65536     		x = 0.5643310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30261 ÷ 216
    30261 ÷ 65536     		y = 0.461746215820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5643310546875 × 2 - 1) × π
    0.128662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40420394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461746215820312 × 2 - 1) × π
    0.076507568359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.240355614694962
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40420394} λ = 0.40420394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.240355614694962))-π/2
    2×atan(1.27170130559198)-π/2
    2×0.904435278934215-π/2
    1.80887055786843-1.57079632675     		φ = 0.23807423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40420394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.159180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23807423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.640649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36984 KachelY 30261 0.40420394 0.23807423 23.159180 13.640649
    Oben rechts KachelX + 1 36985 KachelY 30261 0.40429981 0.23807423 23.164673 13.640649
    Unten links KachelX 36984 KachelY + 1 30262 0.40420394 0.23798106 23.159180 13.635310
    Unten rechts KachelX + 1 36985 KachelY + 1 30262 0.40429981 0.23798106 23.164673 13.635310
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23807423-0.23798106) × R
    9.31700000000035e-05 × 6371000     		dl = 593.586070000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23807423-0.23798106) × R
    9.31700000000035e-05 × 6371000     		dr = 593.586070000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40420394-0.40429981) × cos(0.23807423) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.971793934009345 × 6371000     		do = 593.559849853082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40420394-0.40429981) × cos(0.23798106) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.971815902222821 × 6371000     		du = 593.573267769202m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23807423)-sin(0.23798106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971793934009345-0.971815902222821)×R²
    abs(0.40429981-0.40420394)×2.19682134765531e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.19682134765531e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.19682134765531e-05×40589641000000     		ar = 352332.84118303m²