Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36983 / 30260
↖ ↑ ↗
← N 13.645987°
E 23.153686°		 ← 593.61 m → N 13.645987°
E 23.159180°		 →
↑
593.59 m
↓
↑
593.59 m
↓
N 13.640649°
E 23.153686°		 ← 593.62 m →
352 362 m²		 N 13.640649°
E 23.159180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564323425292969 y=0.461738586425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564323425292969 × 216)
    floor (0.564323425292969 × 65536)
    floor (36983.5)     		tx = 36983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461738586425781 × 216)
    floor (0.461738586425781 × 65536)
    floor (30260.5)     		ty = 30260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36983 / 30260 ti = "16/36983/30260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36983/30260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36983 ÷ 216
    36983 ÷ 65536     		x = 0.564315795898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30260 ÷ 216
    30260 ÷ 65536     		y = 0.46173095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564315795898438 × 2 - 1) × π
    0.128631591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40410806
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46173095703125 × 2 - 1) × π
    0.0765380859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.240451488494202
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40410806} λ = 0.40410806}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.240451488494202))-π/2
    2×atan(1.27182323427244)-π/2
    2×0.904481863195763-π/2
    1.80896372639153-1.57079632675     		φ = 0.23816740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40410806} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.153686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23816740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.645987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36983 KachelY 30260 0.40410806 0.23816740 23.153686 13.645987
    Oben rechts KachelX + 1 36984 KachelY 30260 0.40420394 0.23816740 23.159180 13.645987
    Unten links KachelX 36983 KachelY + 1 30261 0.40410806 0.23807423 23.153686 13.640649
    Unten rechts KachelX + 1 36984 KachelY + 1 30261 0.40420394 0.23807423 23.159180 13.640649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23816740-0.23807423) × R
    9.31700000000035e-05 × 6371000     		dl = 593.586070000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23816740-0.23807423) × R
    9.31700000000035e-05 × 6371000     		dr = 593.586070000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40410806-0.40420394) × cos(0.23816740) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.971771957360066 × 6371000     		do = 593.608338375848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40410806-0.40420394) × cos(0.23807423) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.971793934009345 × 6371000     		du = 593.621762844585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23816740)-sin(0.23807423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971771957360066-0.971793934009345)×R²
    abs(0.40420394-0.40410806)×2.197664927861e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.197664927861e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.197664927861e-05×40589641000000     		ar = 352361.625239493m²