Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36982 / 30262
↖ ↑ ↗
← N 13.635310°
E 23.148193°		 ← 593.57 m → N 13.635310°
E 23.153686°		 →
↑
593.59 m
↓
↑
593.59 m
↓
N 13.629972°
E 23.148193°		 ← 593.59 m →
352 341 m²		 N 13.629972°
E 23.153686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36982 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30262 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564308166503906 y=0.461769104003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564308166503906 × 216)
    floor (0.564308166503906 × 65536)
    floor (36982.5)     		tx = 36982
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461769104003906 × 216)
    floor (0.461769104003906 × 65536)
    floor (30262.5)     		ty = 30262
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36982 / 30262 ti = "16/36982/30262"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36982/30262.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36982 ÷ 216
    36982 ÷ 65536     		x = 0.564300537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30262 ÷ 216
    30262 ÷ 65536     		y = 0.461761474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564300537109375 × 2 - 1) × π
    0.12860107421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40401219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461761474609375 × 2 - 1) × π
    0.07647705078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.240259740895721
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40401219} λ = 0.40401219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.240259740895721))-π/2
    2×atan(1.27157938860073)-π/2
    2×0.904388693619382-π/2
    1.80877738723876-1.57079632675     		φ = 0.23798106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40401219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.148193°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23798106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.635310°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36982 KachelY 30262 0.40401219 0.23798106 23.148193 13.635310
    Oben rechts KachelX + 1 36983 KachelY 30262 0.40410806 0.23798106 23.153686 13.635310
    Unten links KachelX 36982 KachelY + 1 30263 0.40401219 0.23788789 23.148193 13.629972
    Unten rechts KachelX + 1 36983 KachelY + 1 30263 0.40410806 0.23788789 23.153686 13.629972
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23798106-0.23788789) × R
    9.31700000000035e-05 × 6371000     		dl = 593.586070000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23798106-0.23788789) × R
    9.31700000000035e-05 × 6371000     		dr = 593.586070000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40401219-0.40410806) × cos(0.23798106) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.971815902222821 × 6371000     		do = 593.573267769202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40401219-0.40410806) × cos(0.23788789) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.971837862000305 × 6371000     		du = 593.586680532721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23798106)-sin(0.23788789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971815902222821-0.971837862000305)×R²
    abs(0.40410806-0.40401219)×2.19597774839819e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.19597774839819e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.19597774839819e-05×40589641000000     		ar = 352340.804341837m²