Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36981 / 68823
↖ ↑ ↗
← S  8.990888°
W 78.428650°		 ← 301.67 m → S  8.990888°
W 78.425903°		 →
↑
301.67 m
↓
↑
301.67 m
↓
S  8.993600°
W 78.428650°		 ← 301.67 m →
91 004 m²		 S  8.993600°
W 78.425903°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282146453857422 y=0.525081634521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282146453857422 × 217)
    floor (0.282146453857422 × 131072)
    floor (36981.5)     		tx = 36981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525081634521484 × 217)
    floor (0.525081634521484 × 131072)
    floor (68823.5)     		ty = 68823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36981 / 68823 ti = "17/36981/68823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36981/68823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36981 ÷ 217
    36981 ÷ 131072     		x = 0.282142639160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68823 ÷ 217
    68823 ÷ 131072     		y = 0.525077819824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282142639160156 × 2 - 1) × π
    -0.435714721679688 × 3.1415926535     		Λ = -1.36883817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525077819824219 × 2 - 1) × π
    -0.0501556396484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.157568589051125
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36883817} λ = -1.36883817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.157568589051125))-π/2
    2×atan(0.854218221581845)-π/2
    2×0.706937867410142-π/2
    1.41387573482028-1.57079632675     		φ = -0.15692059
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36883817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.428650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15692059 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.990888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36981 KachelY 68823 -1.36883817 -0.15692059 -78.428650 -8.990888
    Oben rechts KachelX + 1 36982 KachelY 68823 -1.36879023 -0.15692059 -78.425903 -8.990888
    Unten links KachelX 36981 KachelY + 1 68824 -1.36883817 -0.15696794 -78.428650 -8.993600
    Unten rechts KachelX + 1 36982 KachelY + 1 68824 -1.36879023 -0.15696794 -78.425903 -8.993600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15692059--0.15696794) × R
    4.73500000000016e-05 × 6371000     		dl = 301.66685000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15692059--0.15696794) × R
    4.73500000000016e-05 × 6371000     		dr = 301.66685000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36883817--1.36879023) × cos(-0.15692059) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.98771320785994 × 6371000     		do = 301.673037418198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36883817--1.36879023) × cos(-0.15696794) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.987705807018834 × 6371000     		du = 301.670777010827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15692059)-sin(-0.15696794))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98771320785994-0.987705807018834)×R²
    abs(-1.36879023--1.36883817)×7.40084110506523e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.40084110506523e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.40084110506523e-06×40589641000000     		ar = 91004.4139999039m²