Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36981 / 68822
↖ ↑ ↗
← S  8.988175°
W 78.428650°		 ← 301.68 m → S  8.988175°
W 78.425903°		 →
↑
301.67 m
↓
↑
301.67 m
↓
S  8.990888°
W 78.428650°		 ← 301.67 m →
91 005 m²		 S  8.990888°
W 78.425903°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282146453857422 y=0.525074005126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282146453857422 × 217)
    floor (0.282146453857422 × 131072)
    floor (36981.5)     		tx = 36981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525074005126953 × 217)
    floor (0.525074005126953 × 131072)
    floor (68822.5)     		ty = 68822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36981 / 68822 ti = "17/36981/68822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36981/68822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36981 ÷ 217
    36981 ÷ 131072     		x = 0.282142639160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68822 ÷ 217
    68822 ÷ 131072     		y = 0.525070190429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282142639160156 × 2 - 1) × π
    -0.435714721679688 × 3.1415926535     		Λ = -1.36883817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525070190429688 × 2 - 1) × π
    -0.050140380859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.157520652151505
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36883817} λ = -1.36883817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.157520652151505))-π/2
    2×atan(0.854259171136476)-π/2
    2×0.706961541453251-π/2
    1.4139230829065-1.57079632675     		φ = -0.15687324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36883817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.428650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15687324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.988175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36981 KachelY 68822 -1.36883817 -0.15687324 -78.428650 -8.988175
    Oben rechts KachelX + 1 36982 KachelY 68822 -1.36879023 -0.15687324 -78.425903 -8.988175
    Unten links KachelX 36981 KachelY + 1 68823 -1.36883817 -0.15692059 -78.428650 -8.990888
    Unten rechts KachelX + 1 36982 KachelY + 1 68823 -1.36879023 -0.15692059 -78.425903 -8.990888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15687324--0.15692059) × R
    4.73500000000016e-05 × 6371000     		dl = 301.66685000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15687324--0.15692059) × R
    4.73500000000016e-05 × 6371000     		dr = 301.66685000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36883817--1.36879023) × cos(-0.15687324) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.987720606486569 × 6371000     		do = 301.675297149211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36883817--1.36879023) × cos(-0.15692059) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.98771320785994 × 6371000     		du = 301.673037418198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15687324)-sin(-0.15692059))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987720606486569-0.98771320785994)×R²
    abs(-1.36879023--1.36883817)×7.3986266297954e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.3986266297954e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.3986266297954e-06×40589641000000     		ar = 91005.0957878485m²