Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36981 / 30218
↖ ↑ ↗
← N 13.870080°
E 23.142700°		 ← 592.98 m → N 13.870080°
E 23.148193°		 →
↑
593.01 m
↓
↑
593.01 m
↓
N 13.864747°
E 23.142700°		 ← 592.99 m →
351 648 m²		 N 13.864747°
E 23.148193°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564292907714844 y=0.461097717285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564292907714844 × 216)
    floor (0.564292907714844 × 65536)
    floor (36981.5)     		tx = 36981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461097717285156 × 216)
    floor (0.461097717285156 × 65536)
    floor (30218.5)     		ty = 30218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36981 / 30218 ti = "16/36981/30218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36981/30218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36981 ÷ 216
    36981 ÷ 65536     		x = 0.564285278320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30218 ÷ 216
    30218 ÷ 65536     		y = 0.461090087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564285278320312 × 2 - 1) × π
    0.128570556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40391632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461090087890625 × 2 - 1) × π
    0.07781982421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.244478188062286
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40391632} λ = 0.40391632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.244478188062286))-π/2
    2×atan(1.27695480906181)-π/2
    2×0.906437446030214-π/2
    1.81287489206043-1.57079632675     		φ = 0.24207857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40391632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.142700°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24207857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.870080°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36981 KachelY 30218 0.40391632 0.24207857 23.142700 13.870080
    Oben rechts KachelX + 1 36982 KachelY 30218 0.40401219 0.24207857 23.148193 13.870080
    Unten links KachelX 36981 KachelY + 1 30219 0.40391632 0.24198549 23.142700 13.864747
    Unten rechts KachelX + 1 36982 KachelY + 1 30219 0.40401219 0.24198549 23.148193 13.864747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24207857-0.24198549) × R
    9.30799999999954e-05 × 6371000     		dl = 593.012679999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24207857-0.24198549) × R
    9.30799999999954e-05 × 6371000     		dr = 593.012679999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40391632-0.40401219) × cos(0.24207857) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.970841795350196 × 6371000     		do = 592.978295204729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40391632-0.40401219) × cos(0.24198549) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.970864104385028 × 6371000     		du = 592.991921290365m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24207857)-sin(0.24198549))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970841795350196-0.970864104385028)×R²
    abs(0.40401219-0.40391632)×2.23090348321353e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.23090348321353e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.23090348321353e-05×40589641000000     		ar = 351647.688495756m²