Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36980 / 30241
↖ ↑ ↗
← N 13.747389°
E 23.137207°		 ← 593.35 m → N 13.747389°
E 23.142700°		 →
↑
593.33 m
↓
↑
593.33 m
↓
N 13.742053°
E 23.137207°		 ← 593.37 m →
352 058 m²		 N 13.742053°
E 23.142700°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564277648925781 y=0.461448669433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564277648925781 × 216)
    floor (0.564277648925781 × 65536)
    floor (36980.5)     		tx = 36980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461448669433594 × 216)
    floor (0.461448669433594 × 65536)
    floor (30241.5)     		ty = 30241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36980 / 30241 ti = "16/36980/30241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36980/30241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36980 ÷ 216
    36980 ÷ 65536     		x = 0.56427001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30241 ÷ 216
    30241 ÷ 65536     		y = 0.461441040039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56427001953125 × 2 - 1) × π
    0.1285400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40382044
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461441040039062 × 2 - 1) × π
    0.077117919921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.242273090679764
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40382044} λ = 0.40382044}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.242273090679764))-π/2
    2×atan(1.27414210164136)-π/2
    2×0.905366763535079-π/2
    1.81073352707016-1.57079632675     		φ = 0.23993720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40382044} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.137207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23993720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.747389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36980 KachelY 30241 0.40382044 0.23993720 23.137207 13.747389
    Oben rechts KachelX + 1 36981 KachelY 30241 0.40391632 0.23993720 23.142700 13.747389
    Unten links KachelX 36980 KachelY + 1 30242 0.40382044 0.23984407 23.137207 13.742053
    Unten rechts KachelX + 1 36981 KachelY + 1 30242 0.40391632 0.23984407 23.142700 13.742053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23993720-0.23984407) × R
    9.31299999999968e-05 × 6371000     		dl = 593.33122999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23993720-0.23984407) × R
    9.31299999999968e-05 × 6371000     		dr = 593.33122999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40382044-0.40391632) × cos(0.23993720) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.971352900661559 × 6371000     		do = 593.352356971361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40382044-0.40391632) × cos(0.23984407) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.971375028013782 × 6371000     		du = 593.365873497215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23993720)-sin(0.23984407))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971352900661559-0.971375028013782)×R²
    abs(0.40391632-0.40382044)×2.21273522237331e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.21273522237331e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.21273522237331e-05×40589641000000     		ar = 352058.493928101m²