Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36980 / 28293
↖ ↑ ↗
← N 23.860722°
E 23.137207°		 ← 558.64 m → N 23.860722°
E 23.142700°		 →
↑
558.61 m
↓
↑
558.61 m
↓
N 23.855698°
E 23.137207°		 ← 558.66 m →
312 069 m²		 N 23.855698°
E 23.142700°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564277648925781 y=0.431724548339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564277648925781 × 216)
    floor (0.564277648925781 × 65536)
    floor (36980.5)     		tx = 36980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431724548339844 × 216)
    floor (0.431724548339844 × 65536)
    floor (28293.5)     		ty = 28293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36980 / 28293 ti = "16/36980/28293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36980/28293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36980 ÷ 216
    36980 ÷ 65536     		x = 0.56427001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28293 ÷ 216
    28293 ÷ 65536     		y = 0.431716918945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56427001953125 × 2 - 1) × π
    0.1285400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40382044
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431716918945312 × 2 - 1) × π
    0.136566162109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.429035251599503
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40382044} λ = 0.40382044}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.429035251599503))-π/2
    2×atan(1.53577517197441)-π/2
    2×0.993622241861411-π/2
    1.98724448372282-1.57079632675     		φ = 0.41644816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40382044} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.137207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41644816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.860722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36980 KachelY 28293 0.40382044 0.41644816 23.137207 23.860722
    Oben rechts KachelX + 1 36981 KachelY 28293 0.40391632 0.41644816 23.142700 23.860722
    Unten links KachelX 36980 KachelY + 1 28294 0.40382044 0.41636048 23.137207 23.855698
    Unten rechts KachelX + 1 36981 KachelY + 1 28294 0.40391632 0.41636048 23.142700 23.855698
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41644816-0.41636048) × R
    8.76800000000344e-05 × 6371000     		dl = 558.609280000219m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41644816-0.41636048) × R
    8.76800000000344e-05 × 6371000     		dr = 558.609280000219m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40382044-0.40391632) × cos(0.41644816) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.914531477593245 × 6371000     		do = 558.642906594378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40382044-0.40391632) × cos(0.41636048) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.914566941930418 × 6371000     		du = 558.664570037227m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41644816)-sin(0.41636048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.914531477593245-0.914566941930418)×R²
    abs(0.40391632-0.40382044)×3.54643371731633e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.54643371731633e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.54643371731633e-05×40589641000000     		ar = 312069.162729906m²