Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36979 / 28323
↖ ↑ ↗
← N 23.709924°
E 23.131714°		 ← 559.23 m → N 23.709924°
E 23.137207°		 →
↑
559.25 m
↓
↑
559.25 m
↓
N 23.704895°
E 23.131714°		 ← 559.25 m →
312 755 m²		 N 23.704895°
E 23.137207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36979 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564262390136719 y=0.432182312011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564262390136719 × 216)
    floor (0.564262390136719 × 65536)
    floor (36979.5)     		tx = 36979
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432182312011719 × 216)
    floor (0.432182312011719 × 65536)
    floor (28323.5)     		ty = 28323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36979 / 28323 ti = "16/36979/28323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36979/28323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36979 ÷ 216
    36979 ÷ 65536     		x = 0.564254760742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28323 ÷ 216
    28323 ÷ 65536     		y = 0.432174682617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564254760742188 × 2 - 1) × π
    0.128509521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40372457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432174682617188 × 2 - 1) × π
    0.135650634765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.426159037622299
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40372457} λ = 0.40372457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.426159037622299))-π/2
    2×atan(1.5313643003051)-π/2
    2×0.992306283877354-π/2
    1.98461256775471-1.57079632675     		φ = 0.41381624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40372457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.131714°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41381624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.709924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36979 KachelY 28323 0.40372457 0.41381624 23.131714 23.709924
    Oben rechts KachelX + 1 36980 KachelY 28323 0.40382044 0.41381624 23.137207 23.709924
    Unten links KachelX 36979 KachelY + 1 28324 0.40372457 0.41372846 23.131714 23.704895
    Unten rechts KachelX + 1 36980 KachelY + 1 28324 0.40382044 0.41372846 23.137207 23.704895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41381624-0.41372846) × R
    8.77799999999818e-05 × 6371000     		dl = 559.246379999884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41381624-0.41372846) × R
    8.77799999999818e-05 × 6371000     		dr = 559.246379999884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40372457-0.40382044) × cos(0.41381624) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.915592959324593 × 6371000     		do = 559.232981853557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40372457-0.40382044) × cos(0.41372846) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.915628252694238 × 6371000     		du = 559.254538612098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41381624)-sin(0.41372846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915592959324593-0.915628252694238)×R²
    abs(0.40382044-0.40372457)×3.52933696454727e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.52933696454727e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.52933696454727e-05×40589641000000     		ar = 312755.048648409m²