Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36977 / 68849
↖ ↑ ↗
← S  9.061415°
W 78.439636°		 ← 301.61 m → S  9.061415°
W 78.436890°		 →
↑
301.60 m
↓
↑
301.60 m
↓
S  9.064127°
W 78.439636°		 ← 301.61 m →
90 967 m²		 S  9.064127°
W 78.436890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282115936279297 y=0.525279998779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282115936279297 × 217)
    floor (0.282115936279297 × 131072)
    floor (36977.5)     		tx = 36977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.525279998779297 × 217)
    floor (0.525279998779297 × 131072)
    floor (68849.5)     		ty = 68849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36977 / 68849 ti = "17/36977/68849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36977/68849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36977 ÷ 217
    36977 ÷ 131072     		x = 0.282112121582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68849 ÷ 217
    68849 ÷ 131072     		y = 0.525276184082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282112121582031 × 2 - 1) × π
    -0.435775756835938 × 3.1415926535     		Λ = -1.36902992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525276184082031 × 2 - 1) × π
    -0.0505523681640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.158814948441246
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36902992} λ = -1.36902992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.158814948441246))-π/2
    2×atan(0.853154221880909)-π/2
    2×0.706322404691275-π/2
    1.41264480938255-1.57079632675     		φ = -0.15815152
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36902992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.439636°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15815152 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.061415°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36977 KachelY 68849 -1.36902992 -0.15815152 -78.439636 -9.061415
    Oben rechts KachelX + 1 36978 KachelY 68849 -1.36898198 -0.15815152 -78.436890 -9.061415
    Unten links KachelX 36977 KachelY + 1 68850 -1.36902992 -0.15819886 -78.439636 -9.064127
    Unten rechts KachelX + 1 36978 KachelY + 1 68850 -1.36898198 -0.15819886 -78.436890 -9.064127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15815152--0.15819886) × R
    4.73400000000068e-05 × 6371000     		dl = 301.603140000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15815152--0.15819886) × R
    4.73400000000068e-05 × 6371000     		dr = 301.603140000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36902992--1.36898198) × cos(-0.15815152) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.987520093109214 × 6371000     		do = 301.614055202553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36902992--1.36898198) × cos(-0.15819886) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.987512636280938 × 6371000     		du = 301.611777695259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15815152)-sin(-0.15819886))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987520093109214-0.987512636280938)×R²
    abs(-1.36898198--1.36902992)×7.45682827529848e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.45682827529848e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.45682827529848e-06×40589641000000     		ar = 90967.4026825655m²