Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36976 / 45232
↖ ↑ ↗
← S 56.316537°
E 23.115235°		 ← 338.75 m → S 56.316537°
E 23.120727°		 →
↑
338.75 m
↓
↑
338.75 m
↓
S 56.319583°
E 23.115235°		 ← 338.72 m →
114 744 m²		 S 56.319583°
E 23.120727°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564216613769531 y=0.690193176269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564216613769531 × 216)
    floor (0.564216613769531 × 65536)
    floor (36976.5)     		tx = 36976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690193176269531 × 216)
    floor (0.690193176269531 × 65536)
    floor (45232.5)     		ty = 45232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36976 / 45232 ti = "16/36976/45232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36976/45232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36976 ÷ 216
    36976 ÷ 65536     		x = 0.564208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45232 ÷ 216
    45232 ÷ 65536     		y = 0.690185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564208984375 × 2 - 1) × π
    0.12841796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40343695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690185546875 × 2 - 1) × π
    -0.38037109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.19497103372876
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40343695} λ = 0.40343695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19497103372876))-π/2
    2×atan(0.302712722513978)-π/2
    2×0.293943668846336-π/2
    0.587887337692672-1.57079632675     		φ = -0.98290899
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40343695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.115235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98290899 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.316537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36976 KachelY 45232 0.40343695 -0.98290899 23.115235 -56.316537
    Oben rechts KachelX + 1 36977 KachelY 45232 0.40353282 -0.98290899 23.120727 -56.316537
    Unten links KachelX 36976 KachelY + 1 45233 0.40343695 -0.98296216 23.115235 -56.319583
    Unten rechts KachelX + 1 36977 KachelY + 1 45233 0.40353282 -0.98296216 23.120727 -56.319583
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98290899--0.98296216) × R
    5.31700000000468e-05 × 6371000     		dl = 338.746070000298m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98290899--0.98296216) × R
    5.31700000000468e-05 × 6371000     		dr = 338.746070000298m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40343695-0.40353282) × cos(-0.98290899) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.554604284804963 × 6371000     		do = 338.745514348461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40343695-0.40353282) × cos(-0.98296216) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.554560040507572 × 6371000     		du = 338.718490472722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98290899)-sin(-0.98296216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554604284804963-0.554560040507572)×R²
    abs(0.40353282-0.40343695)×4.42442973914714e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.42442973914714e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.42442973914714e-05×40589641000000     		ar = 114744.134626954m²