Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36976 / 36882
↖ ↑ ↗
← S 22.034730°
E 23.115235°		 ← 566.17 m → S 22.034730°
E 23.120727°		 →
↑
566.13 m
↓
↑
566.13 m
↓
S 22.039821°
E 23.115235°		 ← 566.15 m →
320 521 m²		 S 22.039821°
E 23.120727°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564216613769531 y=0.562782287597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564216613769531 × 216)
    floor (0.564216613769531 × 65536)
    floor (36976.5)     		tx = 36976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.562782287597656 × 216)
    floor (0.562782287597656 × 65536)
    floor (36882.5)     		ty = 36882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36976 / 36882 ti = "16/36976/36882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36976/36882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36976 ÷ 216
    36976 ÷ 65536     		x = 0.564208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36882 ÷ 216
    36882 ÷ 65536     		y = 0.562774658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564208984375 × 2 - 1) × π
    0.12841796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40343695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562774658203125 × 2 - 1) × π
    -0.12554931640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.394424810073822
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40343695} λ = 0.40343695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.394424810073822))-π/2
    2×atan(0.674067644683595)-π/2
    2×0.593108870855279-π/2
    1.18621774171056-1.57079632675     		φ = -0.38457859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40343695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.115235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38457859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.034730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36976 KachelY 36882 0.40343695 -0.38457859 23.115235 -22.034730
    Oben rechts KachelX + 1 36977 KachelY 36882 0.40353282 -0.38457859 23.120727 -22.034730
    Unten links KachelX 36976 KachelY + 1 36883 0.40343695 -0.38466745 23.115235 -22.039821
    Unten rechts KachelX + 1 36977 KachelY + 1 36883 0.40353282 -0.38466745 23.120727 -22.039821
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38457859--0.38466745) × R
    8.88600000000239e-05 × 6371000     		dl = 566.127060000152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38457859--0.38466745) × R
    8.88600000000239e-05 × 6371000     		dr = 566.127060000152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40343695-0.40353282) × cos(-0.38457859) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.926956614750925 × 6371000     		do = 566.173763610454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40343695-0.40353282) × cos(-0.38466745) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.92692327361472 × 6371000     		du = 566.153399252222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38457859)-sin(-0.38466745))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926956614750925-0.92692327361472)×R²
    abs(0.40353282-0.40343695)×3.33411362055669e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.33411362055669e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.33411362055669e-05×40589641000000     		ar = 320520.524045781m²