Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36975 / 30634
↖ ↑ ↗
← N 11.641476°
E 23.109741°		 ← 598.29 m → N 11.641476°
E 23.115235°		 →
↑
598.24 m
↓
↑
598.24 m
↓
N 11.636096°
E 23.109741°		 ← 598.30 m →
357 920 m²		 N 11.636096°
E 23.115235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564201354980469 y=0.467445373535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564201354980469 × 216)
    floor (0.564201354980469 × 65536)
    floor (36975.5)     		tx = 36975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467445373535156 × 216)
    floor (0.467445373535156 × 65536)
    floor (30634.5)     		ty = 30634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36975 / 30634 ti = "16/36975/30634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36975/30634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36975 ÷ 216
    36975 ÷ 65536     		x = 0.564193725585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30634 ÷ 216
    30634 ÷ 65536     		y = 0.467437744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564193725585938 × 2 - 1) × π
    0.128387451171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40334107
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467437744140625 × 2 - 1) × π
    0.06512451171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.2045946875784
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40334107} λ = 0.40334107}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.2045946875784))-π/2
    2×atan(1.22702763462068)-π/2
    2×0.886989208827177-π/2
    1.77397841765435-1.57079632675     		φ = 0.20318209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40334107} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.109741°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20318209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.641476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36975 KachelY 30634 0.40334107 0.20318209 23.109741 11.641476
    Oben rechts KachelX + 1 36976 KachelY 30634 0.40343695 0.20318209 23.115235 11.641476
    Unten links KachelX 36975 KachelY + 1 30635 0.40334107 0.20308819 23.109741 11.636096
    Unten rechts KachelX + 1 36976 KachelY + 1 30635 0.40343695 0.20308819 23.115235 11.636096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20318209-0.20308819) × R
    9.39000000000079e-05 × 6371000     		dl = 598.23690000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20318209-0.20308819) × R
    9.39000000000079e-05 × 6371000     		dr = 598.23690000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40334107-0.40343695) × cos(0.20318209) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.979429433292992 × 6371000     		do = 598.285918882539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40334107-0.40343695) × cos(0.20308819) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.979448376772446 × 6371000     		du = 598.297490535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20318209)-sin(0.20308819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979429433292992-0.979448376772446)×R²
    abs(0.40343695-0.40334107)×1.8943479453859e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.8943479453859e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.8943479453859e-05×40589641000000     		ar = 357920.174983774m²