Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36975 / 30246
↖ ↑ ↗
← N 13.720709°
E 23.109741°		 ← 593.42 m → N 13.720709°
E 23.115235°		 →
↑
593.39 m
↓
↑
593.39 m
↓
N 13.715372°
E 23.109741°		 ← 593.43 m →
352 136 m²		 N 13.715372°
E 23.115235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30246 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564201354980469 y=0.461524963378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564201354980469 × 216)
    floor (0.564201354980469 × 65536)
    floor (36975.5)     		tx = 36975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461524963378906 × 216)
    floor (0.461524963378906 × 65536)
    floor (30246.5)     		ty = 30246
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36975 / 30246 ti = "16/36975/30246"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36975/30246.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36975 ÷ 216
    36975 ÷ 65536     		x = 0.564193725585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30246 ÷ 216
    30246 ÷ 65536     		y = 0.461517333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564193725585938 × 2 - 1) × π
    0.128387451171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40334107
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461517333984375 × 2 - 1) × π
    0.07696533203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.241793721683563
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40334107} λ = 0.40334107}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.241793721683563))-π/2
    2×atan(1.2735314637932)-π/2
    2×0.905133932049435-π/2
    1.81026786409887-1.57079632675     		φ = 0.23947154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40334107} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.109741°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23947154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.720709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36975 KachelY 30246 0.40334107 0.23947154 23.109741 13.720709
    Oben rechts KachelX + 1 36976 KachelY 30246 0.40343695 0.23947154 23.115235 13.720709
    Unten links KachelX 36975 KachelY + 1 30247 0.40334107 0.23937840 23.109741 13.715372
    Unten rechts KachelX + 1 36976 KachelY + 1 30247 0.40343695 0.23937840 23.115235 13.715372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23947154-0.23937840) × R
    9.31400000000193e-05 × 6371000     		dl = 593.394940000123m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23947154-0.23937840) × R
    9.31400000000193e-05 × 6371000     		dr = 593.394940000123m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40334107-0.40343695) × cos(0.23947154) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.971463455543383 × 6371000     		do = 593.419889584544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40334107-0.40343695) × cos(0.23937840) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.971485543139138 × 6371000     		du = 593.433381825101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23947154)-sin(0.23937840))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971463455543383-0.971485543139138)×R²
    abs(0.40343695-0.40334107)×2.20875957549493e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.20875957549493e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.20875957549493e-05×40589641000000     		ar = 352136.363143067m²